?_{ÿÿÿÿ§Äkblp_ŒÐŠ ´‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡   †&ÿƒÀÿµÿ‰`Õ “& MathTypeà…ûøýゎSymbol…-‡2 ^ƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ^ˆƒ)…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 uÙƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 uÒƒ)…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ²ƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 «ƒ) …úƒ"…-‡p‡B„û€þƒ—Times New Roman‡…-…ð‡2 ƒƒt‡2 ƒ½ƒR‡2 wBƒt‡2 w–ƒR‡2 `øƒt‡2 `FƒH„û€þ‚ŽSymbol…-…ð‡2 a€ƒ¢‡2 `>ƒ= †& ÿ…û‚¼"System…-…ð/&;)z4ÿÿ^C^ÿÿÿÿ|CONTEXTx¼|CTXOMAPݪ|FONT&©|KWBTREE¬|KWDATAP«|KWMAP ¬|SYSTEM`9|TOPICë9|TTLBTREEI´|bm0|bm1ª|bm10Ï |bm11%|bm12,|bm1330|bm14Á3|bm15q7|bm16P;|bm173=|bm18@|bm19•B|bm2m |bm20ÑF|bm21I|bm22BL|bm23ÇQ|bm24PV|bm25Y|bm26[|bm27§]|bm28a|bm29zb|bm3- |bm30Ýc|bm31Æe|bm32i|bm33½k|bm34Po|bm359u|bm36«x|bm373€|bm38Wˆ|bm39íŠ|bm4é|bm40ï|bm41Ç’|bm42+˜|bm43p›|bm44ž|bm45‰ |bm46?¥|bm47ª|bm48{«|bm49æ®|bm5|bm50ö°|bm51l²|bm52‡¹|bm53ö¾|bm54Ã|bm55É|bm56çÎ|bm57hÒ|bm58ÓÕ|bm59:Ø|bm6 |bm60©Ý|bm61?à|bm62’ã|bm63ûè|bm64mì|bm65uó|bm66 û|bm67Ÿý|bm68ÿ|bm69|bm7|bm70ó|bm71ó |bm72i |bm73,|bm74¢|bm75˜|bm76¨|bm77T|bm78X|bm79Ç!|bm8…|bm80f&|bm81¡+|bm82à-|bm83õ2|bm8417|bm9öÚÚÐ Ú­­­­­ ­­ÚÚÚÚÚ ÚÚ­­­­­­­­ÚÚÚÚÚÚÚÚ­­­­­­­­ÚÚÚÚÚÚÚÚ ˆ€Ãºlpÿ•h:‡ Úƒ‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡ `À†&ÿƒÀÿ»ÿ‰€ “& MathType`„û ÿ‚—Times New Roman‡…-‡2 ôƒ1‡2 tƒ0„û ÿ‚ŽSymbol…-…ð‡2 ô™ƒ-„û€þƒ—Times New Roman‡…-…ð‡2  FƒH †& ÿ…û‚¼"System…-…ðÀ·lp}!Œx4 Þ‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡  `†&ÿƒÀÿµÿ‰ Õ “& MathTypeà …úƒ"…-‡¨‡¾‡V‡.„û€þ‚—Times New Roman…-‡2 `ˆƒs‡2 `^ƒ10 ‡2 `Ô…2408‡2 `´ƒ3 ‡2 ƒ2…km/s‡2 ƒ¾ ƒ10 ‡2 ƒ( …0857‡2 ƒ ƒ3‡2 ƒFƒ10 ‡2 wQ …km/s ‡2 ƒ×…Mpc ‡2 wÂ…km/s‡2 `ƒ1„û ÿ‚—Times New Roman…-…ð‡2 ´iƒ20‡2 ×.ƒ13‡2 ×˃6„û€þƒ¼—Times New Roman…-…ð‡2 `¼ƒ/‡2 `€ƒ,‡2 ƒÚ ƒ,„û ÿ‚ŽSymbol…-…ð‡2 ´çƒ-„û€þ‚ŽSymbol…-…ð‡2 `øƒ×‡2 `”ƒ=‡2 ƒX ƒ×‡2 ƒŠƒ×‡2 `$ƒ= †& ÿ…û‚¼"System…-…ð¼³lpkŒp, Ü‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡  €†&ÿƒÀÿµÿ‰@Õ “& MathTypeà …úƒ"…-‡¨‡Ð‡h‡,„û€þ‚—Times New Roman…-‡2 `´ƒs‡2 `Šƒ10‡2 `tƒ57‡2 `”ƒ10‡2 ƒ,ƒkm‡2 ƒ¸ ƒ10 ‡2 ƒF …9461‡2 ƒ& ƒ0‡2 ƒXƒ10 ‡2 wÙ …km/s ‡2 ƒÂ…Mlyr ‡2 wË…km/s‡2 `ƒ1„û ÿ‚—Times New Roman…-…ð‡2 ´•ƒ20‡2 ×(ƒ13‡2 ×݃6„û€þƒ¼—Times New Roman…-…ð‡2 `èƒ/‡2 `,ƒ,‡2 ƒþ ƒ,„û ÿ‚ŽSymbol…-…ð‡2 ´ƒ-„û€þ‚ŽSymbol…-…ð‡2 `$ƒ×‡2 `’ƒ=‡2 ƒR ƒ×‡2 ƒœƒ×‡2 `6ƒ= †& ÿ…û‚¼"System…-…ð/&lp›{H ‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡ @ †&ÿƒÀÿ¬ÿ‰à ì “& MathType`„û€þ‚—Times New Roman‡…- ‡2 €Í‰km/s/Mpc‡2 €)ƒ75‡2 €ƒƒ70„û ÿ‚—Times New Roman‡…-…ð‡2 àtƒ0„û€þ‚ŽSymbol…-…ð‡2 €-ƒ-‡2 €]ƒ=„û€þƒ—Times New Roman‡…-…ð‡2 €FƒH †& ÿ…û‚¼"System…-…ðôëlpÙø œ  ~‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡  @†&ÿƒÀÿ¦ÿ‰F “& MathTypeð…ûøýゎSymbol…-‡2 ¾eƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ¾ ƒ)…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 Õ ƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 Õ ƒ)…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ü ƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ü ƒ) …úƒ"…-‡`ö‡`î„û€þ‚—Times New Roman‡…-…ð‡2 þ>ƒ1‡2 þd ƒ1‡2 ×;ƒ1‡2 ×g ƒ1„û ÿ‚—Times New Roman‡…-…ð‡2 0} ƒ2‡2 € ƒ2‡2 ²ƒ1‡2 $ƒ0‡2 у0„û€þ‚ŽSymbol…-…ð‡2 þN ƒ+‡2 þt ƒ+‡2 ×Q ƒ-‡2 ×w ƒ+‡2 À`ƒ×‡2 ÀZƒ×‡2 ÀVƒ=„û ÿ‚ŽSymbol…-…ð‡2 Iƒ-„û€þƒ—Times New Roman‡…-…ð‡2 þ ƒz‡2 ד ƒz‡2 ÀöƒH‡2 À|ƒc‡2 Àìƒz‡2 À@ƒs †& ÿ…û‚¼"System…-…ðúlpq{躇 úƒ‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡ @À†&ÿƒÀÿ¬ÿ‰€ì “& MathType`„û ÿ‚—Times New Roman‡…-‡2 à ƒ0‡2 à&ƒ0‡2 à׃0„û€þƒ—Times New Roman‡…-…ð‡2 €{ƒs‡2 €øƒH‡2 €4ƒv„û€þ‚ŽSymbol…-…ð‡2 €åƒ×‡2 €Àƒ= †& ÿ…û‚¼"System…-…ðvmlp§{È ‡ ²ƒ‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡ @€†&ÿƒÀÿ¬ÿ‰@ì “& MathType`„û ÿ‚—Times New Roman‡…-‡2 à׃0„û€þƒ—Times New Roman‡…-…ð‡2 €4ƒv †& ÿ…û‚¼"System…-…ðqhlph §Ð– 4‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡ @€†&ÿƒÀÿµÿ‰@õ “& MathTypeð …úƒ"…-‡z‡)„û ÿƒ—Times New Roman‡…- ‡2 ã…lab ‡2 ×Ó…lab ‡2 ×[…obs„û€þƒ—Times New Roman‡…-…ð‡2 `Lƒz„û€þ“Symbol…-…ð‡2 ƒKƒl‡2 w ƒl‡2 wŽƒl„û€þ‚ŽSymbol…-…ð‡2 wûƒ-‡2 `Hƒ= †& ÿ…û‚¼"System…-…ðÙÐlp3 ö f h‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡ €`†&ÿƒÀÿ­ÿ‰ - “& MathTypeð„û ÿƒ—Times New Roman‡…- ‡2 +…lab„û€þƒ—Times New Roman‡…-…ð‡2 Ëdƒt‡2 ˃c‡2 ËLƒx‡2 :ƒt‡2 ؃c‡2 Lƒx„û€þ“Symbol…-…ð‡2 Ë8ƒl„û€þ‚ŽSymbol…-…ð‡2 Ë$ƒ+‡2 Ëàƒ×‡2 Ë܃=‡2 ¶ƒ×‡2 ²ƒ=„û ÿ‚—Times New Roman‡…-…ð‡2 +óƒ2‡2 ßÚƒ1 †& ÿ…û‚¼"System…-…ð2)lp“ öd ‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡ €€ †&ÿƒÀÿ·ÿ‰@ 7 “& MathTypeð…ûøýゎSymbol…-‡2 sQƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 sjƒ) …úƒ"…-‡‰~‡8õ…ûýゎSymbol…-…ð‡2 áƒ(…ûýゎSymbol…-…ð‡2 áï ƒ)„û ÿ‚—Times New Roman‡…-…ð‡2 8N ƒ2„û€þƒ—Times New Roman‡…-…ð‡2 䑃c‡2 äNƒv‡2 䘃x‡2 ä^ƒt‡2 ä.ƒt‡2 uŒƒt‡2 u*ƒv‡2 u؃x‡2 uLƒx„û€þ‚ŽSymbol…-…ð‡2 äăׇ2 Î@ƒ¢‡2 älƒ+‡2 ÎÖƒ¢‡2 äƒ=‡2 _ƒ¢‡2 uƒ×‡2 uƒ+‡2 _€ƒ¢‡2 uTƒ=„û€þ“Symbol…-…ð‡2 äƒg‡2 uhƒg †& ÿ…û‚¼"System…-…ðþlp×E$  ‰‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡ ÀÀ†&ÿƒÀÿ¼ÿ‰€| Ž& MathType‚…ûøýゎSymbol…-‡2  ƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 4ƒ) …úƒ"…-‡D‡ÿ’…ûýゎSymbol…-…ð‡2 œy ƒ(…ûýゎSymbol…-…ð‡2 œƒ)…ûøýゎSymbol…-…ð‡2  ƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ^ƒ)‡¿s‡zæ…ûýゎSymbol…-…ð‡2 £ ƒ(…ûýゎSymbol…-…ð‡2 äƒ)„û ÿƒ—Times New Roman…-…ð ‡2 zR…lab„û€þƒ—Times New Roman…-…ð‡2 †ƒc‡2 &ƒv‡2 6 ƒx‡2 ü ƒt‡2 :ƒc‡2 €ƒt‡2 ƒv‡2 ’ƒx‡2 Ÿ2ƒc‡2 ŸÒ ƒv‡2 Ÿ ƒx‡2 ŸÒ ƒt‡2 Ÿƒc‡2 ŸVƒt‡2 Ÿôƒv‡2 Ÿ’ƒx„û€þ“Symbol…-…ð‡2 ˆƒl‡2 "ƒg‡2 Ÿ"ƒg„û€þ‚ŽSymbol…-…ð‡2 tƒ+‡2 œ ƒ×‡2 Þ ƒ¢‡2  ƒ+‡2 t ƒ¢‡2  ƒ×‡2 ƒ=‡2 øƒ¢‡2 üƒ×‡2  ƒ+‡2 :ƒ¢‡2 ŸH ƒ×‡2 ‰´ ƒ¢‡2 Ÿà ƒ+‡2 ‰J ƒ¢‡2 Ÿîƒ×‡2 Ÿêƒ=‡2 ‰Îƒ¢‡2 ŸÒƒ×‡2 Ÿàƒ+‡2 ‰:ƒ¢„û ÿ‚—Times New Roman…-…ð‡2 nCƒ2‡2 zÝ ƒ2‡2 z9ƒ2‡2 óïƒ2‡2 ÿš ƒ1‡2 ÿ ƒ1 †& ÿ…û‚¼"System…-…ð+"lp\Œ\  ‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡  €†&ÿƒÀÿµÿ‰@Õ “& MathTypeà …úƒ"…-‡Wê‡×p…ûøýゎSymbol…-‡2 ’ ƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ½ƒ)‡ó ‡-„û€þƒ—Times New Roman‡…-…ð‡2 ƒýƒc‡2 ƒÉƒv‡2 `•ƒx‡2 `÷ƒx„û ÿƒ—Times New Roman‡…-…ð ‡2 Àë …lab ‡2 À…obs„û€þ‚ŽSymbol…-…ð‡2 ƒ»ƒ-‡2 ƒ ƒ×‡2 `] ƒ×‡2 `ûƒ=‡2 J=ƒ¢‡2 `oƒ-‡2 JŸƒ¢‡2 `¹ƒ=„û€þ‚—Times New Roman‡…-…ð‡2 ƒÝ ƒ1‡2 w°ƒ1„û ÿ‚—Times New Roman‡…-…ð‡2 À#ƒ1‡2 Àžƒ2„û€þ“Symbol…-…ð‡2 ƒõ ƒg‡2 `! ƒl‡2 `4ƒl †& ÿ…û‚¼"System…-…ðŽ…lpþE$Ð É‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡ À †&ÿƒÀÿµÿ‰àu “& MathType0 …úƒ"…-‡~ì‡~ƒ…ûøýゎSymbol…-‡2 Üqƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 Ü¡ƒ)‡œ²‡€ë …úƒ"…-‡ë‡dA…-‡dA‡!˜‡!˜‡!¯‡’‡Ï„û ÿ‚—Times New Roman‡…-…ð‡2  ƒ2„û€þ‚—Times New Roman‡…-…ð‡2 Þ†ƒ1‡2 wЃ1„û ÿƒ—Times New Roman‡…-…ð‡2 Bƒc‡2 fƒv„û€þ‚ŽSymbol…-…ð‡2 Þdƒ-‡2 ``ƒº„û€þ“Symbol…-…ð‡2 `"ƒg †& ÿ…û‚¼"System…-…ð°§lp zX Ö‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡  †&ÿƒÀÿ·ÿ‰à· Ž& MathType‚ …úƒ"…-‡ ô‡ G‡·‡·¶‡Ã‡Ã³‡ 1‡ Ö„û ÿƒ—Times New Roman‡…-‡2 ‡5ƒc‡2 «5ƒv‡2 {8ƒc‡2 Ÿ8ƒv ‡2 ƒá…lab ‡2 wÕ…obs„û€þ‚ŽSymbol…-…ð‡2 #ƒ-‡2 ÿƒ+‡2 ÿƒ=‡2 ’wƒ÷‡2 òwƒ÷‡2 ˆwƒø‡2 üwƒö‡2 ’.ƒç‡2 ò.ƒç‡2 ˆ.ƒè‡2 ü.ƒæ„û€þ‚—Times New Roman‡…-…ð‡2 #$ƒ1‡2 !ƒ1„û ÿ‚—Times New Roman‡…-…ð‡2 øƒ2„û€þ“Symbol…-…ð‡2 #ƒl‡2 ƒl †& ÿ…û‚¼"System…-…ðßÖlpì Àr ð‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡   †&ÿƒÀÿ¦ÿ‰ÀF “& MathTypeð …úƒ"…-‡`@‡`…ûøýゎSymbol…-‡2 Õă(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 Õ̓)…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 üÁƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 üʃ)‡`®‡`¦„û€þ‚—Times New Roman‡…-…ð‡2 þöƒ1‡2 þƒ1‡2 ×óƒ1‡2 ׃1„û ÿ‚—Times New Roman‡…-…ð‡2 05ƒ2‡2 8ƒ2„û€þ‚ŽSymbol…-…ð‡2 þƒ+‡2 þ,ƒ+‡2 × ƒ-‡2 ×/ƒ+‡2 À|ƒ=„û€þƒ—Times New Roman‡…-…ð‡2 þHƒz‡2 ×Kƒz‡2 ãTƒc‡2 ×Tƒv †& ÿ…û‚¼"System…-…ðãÚlpÊ{¨z‡ ꃂ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡ @@†&ÿƒÀÿ¬ÿ‰ì “& MathType`„û€þƒ—Times New Roman‡…-‡2 €fƒz‡2 €æƒc‡2 €4ƒv„û€þ‚ŽSymbol…-…ð‡2 €Äƒ×‡2 €Àƒ=„û ÿ‚—Times New Roman‡…-…ð‡2 à׃0 †& ÿ…û‚¼"System…-…ðìãlp •ÈŒ r‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡ ` †&ÿƒÀÿ»ÿ‰À  “& MathType`…ûøýゎSymbol…-‡2 žeƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ž ƒ)„û€þƒ—Times New Roman…-…ð‡2   ƒz‡2  öƒH‡2  |ƒc‡2  ìƒz‡2  @ƒs„û€þ‚ŽSymbol…-…ð‡2  qƒ×‡2  Zƒ×‡2  Vƒ=„û ÿ‚ŽSymbol…-…ð‡2 ôIƒ-„û ÿ‚—Times New Roman…-…ð‡2 ôÃ1‡2 $ƒ0‡2 у0 †& ÿ…û‚¼"System…-…ðvmlpâ{Ü  7‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡ @€ †&ÿƒÀÿ¬ÿ‰@ ì “& MathType`„û€þ‚—Times New Roman‡…-‡2 €£ ƒ1‡2 €tƒ0„û ÿ‚—Times New Roman‡…-…ð‡2 àeƒ0„û€þ‚ŽSymbol…-…ð‡2 €¡ ƒ=‡2 €R ƒW‡2 €Nƒ=‡2 €4ƒW„û ÿ‚ŽSymbol…-…ð‡2 à‡ ƒL„û€þƒ¼—Times New Roman‡…-…ð‡2 €Lƒ, †& ÿ…û‚¼"System…-…ð<3lp±$=x, ‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡ à@!†&ÿƒÀÿ»ÿ‰!› “& MathTypeÀ …úƒ"…-‡ž‡…ûøýゎSymbol…-‡2 ^ƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ^ºƒ)…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ^Mƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ^ˆƒ)„û€þƒ—Times New Roman‚…-…ð‡2 `H ƒc‡2 `^ƒs‡2 `Þ ƒs‡2 `èƒs‡2 ‰ëƒR‡2 qăR‡2 `Žƒc‡2 `@ƒs„û€þ‚ŽSymbol…-…ð‡2 `jƒ±‡2 `>ƒ=‡2 Jôƒ¢‡2 `pƒ=‡2 `Rƒ×‡2 [®ƒ¢‡2 `~ƒ+‡2 `°ƒ±‡2 `„ƒ=‡2 JÖƒ¢„û€þ‚—Times New Roman‚…-…ð‡2 `¼ƒ0‡2 `–ƒ0‡2 `îƒ0„û€þƒ¼—Times New Roman‚…-…ð‡2 `nƒ, †& ÿ…û‚¼"System…-…ð?6lp* {h2 ‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡ @ †&ÿƒÀÿ¬ÿ‰à ì “& MathType`„û€þ‚—Times New Roman‚…-‡2 €A ƒ1„û ÿ‚—Times New Roman‚…-…ð‡2 à ƒ0„û€þ‚ŽSymbol…-…ð‡2 €?ƒ>‡2 €ðƒW‡2 €Üƒ+‡2 €ÚƒW‡2 €´ƒº‡2 €4ƒW„û ÿ‚ŽSymbol…-…ð‡2 à%ƒL †& ÿ…û‚¼"System…-…ð2)lpë •\ —‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡ `À †&ÿƒÀÿ»ÿ‰€  “& MathType`…ûøýゎSymbol…-‡2 ž­ƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ž ƒ)„û€þ‚—Times New Roman…-…ð‡2  n ƒ1„û ÿ‚—Times New Roman…-…ð‡2 ôeƒ2‡2 @ƒ0‡2 ô·ƒ2„û€þ‚ŽSymbol…-…ð‡2  „ ƒ-‡2  ƒW‡2  $ƒ×‡2  vƒ×‡2  Zƒ=„û ÿ‚ŽSymbol…-…ð‡2 ô=ƒ-„û€þƒ—Times New Roman…-…ð‡2  ƒH‡2  €ƒc‡2  :ƒk †& ÿ…û‚¼"System…-…ð…|lp˜r ¾  È‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡ À†&ÿƒÀÿµÿ‰€µ “& MathTypeÐ…ûøýゎSymbol…-‡2 ^• ƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ^Žƒ) …úƒ"…-‡1Ї  …úƒ"…-‡ ‡²_…-‡²_‡!¶‡!¶‡!¨‡°‡È…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 u_ƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 uXƒ)‡-^‡—…-‡—‡¬í…-‡¬í‡!D‡!D‡!X‡>‡x„û€þ‚—Times New Roman…-…ð‡2 ¨ƒ1„û ÿ‚—Times New Roman…-…ð‡2 ´Šƒ1‡2 Àüƒ0„û€þ‚ŽSymbol…-…ð‡2 ¾ƒ-‡2 VƒW‡2 wäƒ×‡2 `2ƒ×‡2 `.ƒ=‡2 `ƒ×‡2 `’ ƒ=„û ÿ‚ŽSymbol…-…ð‡2 ´!ƒ-„û€þ“Symbol…-…ð‡2 wVƒp‡2 w,ƒp„û€þƒ—Times New Roman…-…ð‡2 wȃt‡2 wjƒR‡2 `΃H‡2 `Tƒc‡2 ΃k‡2 `þ ƒt‡2 `  ƒR ‡2 `" ‹størrelse ‡2 `:‰rummets †& ÿ…û‚¼"System…-…ð‰€lpÐö Æ H‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡ €`†&ÿƒÀÿ±ÿ‰ 1 “& MathTypeð…ûøýゎSymbol…-‡2 žAƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ž:ƒ)…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ÁW ƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ÁP ƒ) …úƒ"…-‡@‡@À ‡D’ ‡(Ë …úƒ"…-‡)Ë ‡Å! …-‡Å! ‡4x ‡4x ‡4j „û€þ‚ŽSymbol…-…ð‡2 §š ƒ÷‡2 š ƒø‡2 ±š ƒö‡2 §üƒç‡2 üƒè‡2 ±üƒæ‡2  ü ƒ×‡2 ÃÆƒ×‡2  ðƒ=„û€þƒ—Times New Roman…-…ð‡2   ƒk‡2 ÃÀ ƒt‡2 ÃbƒR‡2 ·yƒs‡2  ªƒt„û€þ‚—Times New Roman…-…ð‡2 Ã܃2„û€þƒ¼—Times New Roman…-…ð ‡2  (…sin„û€þ“Symbol…-…ð‡2  ƒs †& ÿ…û‚¼"System…-…ð²©lpÛÜ\ W‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡ ` †&ÿƒÀÿªÿ‰à  “& MathTypeà …úƒ"…-‡@ ‡@Ù„û€þƒ—Times New Roman‚…-‡2 É¥ƒG‡2 ±áƒH„û€þ“Symbol…-…ð‡2 ɵƒp‡2  Lƒr„û€þ‚—Times New Roman‚…-…ð‡2 Ƀ8‡2 ±ƒ3„û ÿ‚—Times New Roman‚…-…ð‡2 4ƒ2‡2 ƒ0 ‡2 ,…crit„û€þ‚ŽSymbol…-…ð‡2  Ùƒ= †& ÿ…û‚¼"System…-…ð lpí§Þ ‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡ @@†&ÿƒÀÿ»ÿ‰û “& MathTypeð …úƒ"…-‡€‡ó„û ÿ‚—Times New Roman‚…- ‡2 錅crit‡2 Ñîƒ0‡2 Àeƒ0„û€þ“Symbol…-…ð‡2 ‰¬ƒr‡2 qƒr„û€þ‚ŽSymbol…-…ð‡2 `Nƒ=‡2 `4ƒW †& ÿ…û‚¼"System…-…ð‡lpq§Ô F‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡ @À†&ÿƒÀÿ»ÿ‰€û “& MathTypeð …úƒ"…-‡µ‡„û ÿ‚—Times New Roman‚…-‡2 Ý܃2‡2 é·ƒ0„û€þ‚—Times New Roman‚…-…ð‡2 ‰Ãƒ3„û€þƒ—Times New Roman‚…-…ð‡2 ‰‰ƒH„û€þ‚ŽSymbol…-…ð‡2 q–ƒL‡2 `ƒƒ=‡2 `4ƒW„û ÿ‚ŽSymbol…-…ð‡2 ÀiƒL †& ÿ…û‚¼"System…-…ðg^lpš2Ì‚ ³‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡ àà †&ÿƒÀÿ»ÿ‰  › “& MathTypeÀ …úƒ"…-‡¦‡Ž„û€þƒ—Times New Roman‚…-‡2 `± ƒR‡2 ‰ÜƒR‡2 `FƒR„û€þ‚ŽSymbol…-…ð‡2 ` ƒ×‡2 `ð ƒW‡2 `܃+‡2 qºƒW‡2 `ƒ×‡2 `:ƒ-‡2 `ƒ=‡2 J`ƒ¢‡2 J0ƒ¢„û ÿ‚ŽSymbol…-…ð‡2 À% ƒL„û ÿ‚—Times New Roman‚…-…ð‡2 ÝÛƒ2‡2 Ñëƒ0„û€þ‚—Times New Roman‚…-…ð‡2 `,ƒ5‡2 ` ƒ0„û€þƒ¼—Times New Roman‚…-…ð‡2 `̃. †& ÿ…û‚¼"System…-…ðlclpa{´Œ‡ ­ƒ‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡ @ †&ÿƒÀÿ¬ÿ‰àì “& MathType`„û ÿ‚—Times New Roman‚…-‡2 àeƒ0„û€þ‚ŽSymbol…-…ð‡2 €4ƒW †& ÿ…û‚¼"System…-…ðcZlp{a z‡ ¨ƒ‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡  @†&ÿƒÀÿ¬ÿ‰Ì “& MathTypeP„û ÿ‚ŽSymbol…-‡2 àiƒL„û€þ‚ŽSymbol…-…ð‡2 €4ƒW †& ÿ…û‚¼"System…-…ðéàlpÉ{´†‡ 탂 …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡ @†&ÿƒÀÿ¬ÿ‰Àì “& MathType`„û ÿ‚ŽSymbol…-‡2 à%ƒL„û€þ‚ŽSymbol…-…ð‡2 €ðƒW‡2 €Üƒ+‡2 €ÚƒW‡2 €´ƒ=‡2 €4ƒW„û ÿ‚—Times New Roman‚…-…ð‡2 à ƒ0 †& ÿ…û‚¼"System…-…ðA8lpkÀd6 ™‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡ €†&ÿƒÀÿ¬ÿ‰@¬ “& MathType„û€þ‚ŽSymbol…-‡2 ’`ƒï‡2 Ž`ƒî‡2 `ƒï‡2 "`ƒí‡2 ¶`ƒì‡2 }ƒ>‡2 à ƒ=‡2  ƒ<‡2 à4ƒW„û€þƒ—Times New Roman‚…-…ð ‡2 {…rum ‡2 •‰endeligt ‡2 S ‰krumning ‡2 K‰positiv ‡2 àØ…rum ‡2 à2 ‹uendeligt ‡2 à ‰krumning ‡2 ಇingen ‡2  Ø…rum ‡2  2 ‹uendeligt ‡2  & ‰krumning ‡2  ¾‰negativ„û€þ‚—Times New Roman‚…-…ð‡2 ƒ1‡2 à"ƒ1‡2  ƒ1 †& ÿ…û‚¼"System…-…ð¶­lp{\  W‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡ @`†&ÿƒÀÿ¬ÿ‰ ì “& MathType`…ûøýゎSymbol…-‡2 ~3ƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ~Ѓ)„û€þ“Symbol…-…ð‡2 €¶ƒj‡2 €Bƒq„û€þƒ¼—Times New Roman…-…ð‡2 €\ƒ,‡2 €ôƒ,‡2 €8ƒ,„û ÿ‚—Times New Roman…-…ð‡2 àGƒ0„û€þƒ—Times New Roman…-…ð‡2 €¶ƒs‡2 €œƒt †& ÿ…û‚¼"System…-…ð“Šlp\{Ú Ç‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡ @€†&ÿƒÀÿ¬ÿ‰@ì “& MathType`…ûøýゎSymbol…-‡2 ~3ƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ~âƒ)„û€þ“Symbol…-…ð‡2 €Èƒj‡2 €¤ ƒj‡2 €0 ƒq‡2 € ƒq„û€þƒ—Times New Roman‚…-…ð‡2 €ƒd‡2 €p ƒd‡2 €Ìƒds‡2 €Pƒs‡2 €vƒdt‡2 €œƒt„û€þ‚ŽSymbol…-…ð‡2 €îƒ+‡2 €V ƒ+‡2 €²ƒ+‡2 €\ƒ+„û€þƒ¼—Times New Roman‚…-…ð‡2 €J ƒ,‡2 €Êƒ,‡2 €Òƒ,„û ÿ‚—Times New Roman‚…-…ð‡2 àƒ0‡2 àáƒ0 †& ÿ…û‚¼"System…-…ðéàlpæ!•à †  ø‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡ `À†&ÿƒÀÿ»ÿ‰€ “& MathType`…ûøýゎSymbol…-‡2 ž/ ƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ž( ƒ)…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ž“ƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 žìƒ)…ûýゎSymbol…-…ð‡2 õƒ(…ûýゎSymbol…-…ð‡2 ̃)…ûýゎSymbol…-…ð‡2 ? ƒ(…ûýゎSymbol…-…ð‡2 ,ƒ)„û ÿ‚—Times New Roman…-…ð‡2 ô+ƒ2‡2 ôÿƒ2‡2 ô%ƒ2‡2 ô«ƒ2‡2 ‘ƒ0‡2 ôƒ2‡2 õƒ0‡2 ô› ƒ2‡2 ô«ƒ2‡2 ôáƒ2‡2 ôƒ2‡2 ôñƒ2„û€þ“Symbol…-…ð‡2  ƒj‡2  Þƒq‡2  ƒq‡2  .ƒt„û€þƒ—Times New Roman…-…ð‡2  Tƒd‡2  Zƒd‡2  ƒs‡2  ¤ ƒds‡2  ˜ ƒt‡2  œ ƒR‡2  ^ƒdt‡2  $ƒc‡2  nƒd‡2  4ƒc„û€þƒ¼—Times New Roman…-…ð ‡2  …sin„û€þ‚ŽSymbol…-…ð‡2  öƒ+‡2  jƒ×‡2  àƒ+‡2  ´ ƒ×‡2  |ƒ-‡2  þƒ= †& ÿ…û‚¼"System…-…ðrilp•ܘ ·‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡ `€†&ÿƒÀÿ»ÿ‰@ “& MathType`…ûøýゎSymbol…-‡2 žƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 žÓ ƒ)„û ÿ‚—Times New Roman…-…ð‡2 ô΃2‡2 ©ƒ0‡2 ô ƒ2‡2 ƒ0„û€þ‚—Times New Roman…-…ð‡2  % ƒ1„û€þƒ—Times New Roman…-…ð‡2  { ƒH‡2  é ƒc‡2  :ƒk„û€þ‚ŽSymbol…-…ð‡2  ß ƒ×‡2  _ ƒ×‡2  ;ƒ-‡2  ƒW‡2  ðƒ+‡2  îƒW‡2  Zƒ=„û ÿ‚ŽSymbol…-…ð‡2 ô¦ ƒ-‡2 9ƒL †& ÿ…û‚¼"System…-…ðˆlp+Ê<Ä Ï‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡ € '†&ÿƒÀÿ¬ÿ‰à&, “& MathType`…ûøýゎSymbol…-‡2 ¾/ ƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ¾( ƒ) …úƒ"…-‡dW‡H …úƒ"…-‡I‡åæ…-‡åæ‡T=‡T=‡T/…ûjýゎSymbol…-…ð‡2 ½ ƒ(…ûjýゎSymbol…-…ð‡2 ½Mƒ)…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ¾ð!ƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ¾I#ƒ)…ûýゎSymbol…-…ð‡2 ½Rƒ(…ûýゎSymbol…-…ð‡2 ½)&ƒ)…ûjýゎSymbol…-…ð‡2 ½@ ƒ(…ûjýゎSymbol…-…ð‡2 ½‰&ƒ)„û ÿ‚—Times New Roman…-…ð‡2 ˆ%ƒ2‡2 \!ƒ2‡2 ‚ƒ2‡2 ƒ0‡2 sƒ2‡2 Fƒ1‡2  ƒ2‡2 òƒ0‡2 › ƒ2‡2 «ƒ2‡2 áƒ2‡2 ƒ2‡2 ñƒ2„û€þ“Symbol…-…ð‡2 Àq$ƒj‡2 À;"ƒq‡2 Àwƒq‡2 À.ƒt„û€þƒ—Times New Roman…-…ð‡2 À±#ƒd‡2 À·ƒd‡2 ÀUƒk‡2 Àqƒs‡2 À÷ƒk‡2 À¡ ƒds‡2 À˜ ƒt‡2 Àœ ƒR‡2 À^ƒdt‡2 À$ƒc‡2 Ànƒd‡2 À4ƒc„û€þƒ¼—Times New Roman…-…ð ‡2 Ày…sin ‡2 À…sin„û€þ‚ŽSymbol…-…ð‡2 ÀSƒ+‡2 Àǃׇ2 ÀÁƒ×‡2 Àôƒ×‡2 À݃+‡2 À´ ƒ×‡2 À|ƒ-‡2 Àþƒ=„û ÿ‚ŽSymbol…-…ð‡2 ̃- †& ÿ…û‚¼"System…-…ð$lp;/Ê|ü ‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡ €à*†&ÿƒÀÿ½ÿ‰ *= “& MathType`…ûøýゎSymbol…-‡2 ¾/ ƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ¾( ƒ)…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ¾íƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ¾Nƒ) …úƒ"…-‡d‡HO …úƒ"…-‡IO‡å¥…-‡å¥‡Tü‡Tü‡T…ûjýゎSymbol…-…ð‡2 ½Éƒ(…ûjýゎSymbol…-…ð‡2 ½ ƒ)…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ¾Ã%ƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ¾'ƒ)…ûýゎSymbol…-…ð‡2 ½%ƒ(…ûýゎSymbol…-…ð‡2 ½ü)ƒ)…ûEýゎSymbol…-…ð‡2 ½A ƒ(…ûEýゎSymbol…-…ð‡2 ½\*ƒ)„û ÿ‚—Times New Roman‚…-…ð‡2 [)ƒ2‡2 /%ƒ2‡2 U!ƒ2‡2 Áƒ0‡2 2ƒ2‡2 ò3ƒ1‡2  ƒ2‡2 ïƒ0‡2 › ƒ2‡2 «ƒ2‡2 áƒ2‡2 ƒ2‡2 ñƒ2„û€þ“Symbol…-…ð‡2 ÀD(ƒj‡2 À&ƒq‡2 ÀJ ƒq‡2 À.ƒt„û€þƒ—Times New Roman‚…-…ð‡2 À„'ƒd‡2 ÀŠƒd‡2 À(ƒk‡2 À0ƒs‡2 Àvƒk‡2 Àž ƒds‡2 À˜ ƒt‡2 Àœ ƒR‡2 À^ƒdt‡2 À$ƒc‡2 Ànƒd‡2 À4ƒc„û€þƒ¼—Times New Roman‚…-…ð ‡2 ÀL#…sin ‡2 À}…sinh„û€þ‚ŽSymbol…-…ð‡2 À&"ƒ+‡2 Àšƒ×‡2 Àƒ-‡2 À€ƒ×‡2 Àáƒ×‡2 Àbƒ-‡2 ÀÚƒ+‡2 À´ ƒ×‡2 À|ƒ-‡2 Àþƒ=„û ÿ‚ŽSymbol…-…ð‡2 ò¹ƒ- †& ÿ…û‚¼"System…-…ð–lpä{à G‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡ @`†&ÿƒÀÿ¬ÿ‰ ì “& MathType`…ûøýゎSymbol…-‡2 ~3ƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ~ȃ)„û€þ“Symbol…-…ð‡2 €®ƒj‡2 €:ƒq„û€þƒ¼—Times New Roman…-…ð‡2 €Tƒ,‡2 €ìƒ,„û ÿ‚—Times New Roman…-…ð‡2 à?ƒ0„û€þƒ—Times New Roman…-…ð‡2 €®ƒs †& ÿ…û‚¼"System…-…ðùlp •ü¸ ‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡ `À†&ÿƒÀÿ»ÿ‰€ “& MathType`…ûøýゎSymbol…-‡2 žMƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 žúƒ)„û ÿ‚—Times New Roman…-…ð‡2 ôýƒ2‡2 ãƒ0‡2 Yƒ0„û€þ‚—Times New Roman…-…ð‡2  Üƒ4„û€þƒ—Times New Roman…-…ð‡2  Rƒs‡2  Èƒs‡2  .ƒO„û€þ‚ŽSymbol…-…ð‡2  ¼ƒ×‡2  °ƒ=„û€þ“Symbol…-…ð‡2  „ƒp †& ÿ…û‚¼"System…-…ðØÏlpêÊÌ d  s‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡ € †&ÿƒÀÿ¬ÿ‰à, “& MathType`…ûøýゎSymbol…-‡2 ¾Mƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ¾úƒ) …úƒ"…-‡d¬‡Hå …úƒ"…-‡Iå‡å;…-‡å;‡T’‡T’‡T„…ûjýゎSymbol…-…ð‡2 ½_ ƒ(…ûjýゎSymbol…-…ð‡2 ½¢ƒ)„û€þƒ—Times New Roman…-…ð‡2 Àªƒk‡2 ÀÆ ƒs‡2 ÀLƒk‡2 Àȃs‡2 À.ƒO„û€þ‚ŽSymbol…-…ð‡2 Àƒ×‡2 ÀI ƒ×‡2 À¼ƒ×‡2 À°ƒ=„û ÿ‚ŽSymbol…-…ð‡2 !ƒ-„û ÿ‚—Times New Roman…-…ð‡2 W ƒ0‡2 È ƒ2‡2 ›ƒ1‡2 Yƒ0„û€þ‚—Times New Roman…-…ð‡2 À܃4„û€þƒ¼—Times New Roman…-…ð ‡2 Àå …sin„û€þ“Symbol…-…ð‡2 À„ƒp †& ÿ…û‚¼"System…-…ðd[lp¢Êì |  »‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡ €€†&ÿƒÀÿ½ÿ‰@= “& MathType`…ûøýゎSymbol…-‡2 ¾Mƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ¾úƒ)…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ¾Eƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ¾¦ ƒ) …úƒ"…-‡dÞ‡H …úƒ"…-‡I‡åm…-‡åm‡TćTćTÊ…ûjýゎSymbol…-…ð‡2 ½‘ƒ(…ûjýゎSymbol…-…ð‡2 ½èƒ)„û€þƒ—Times New Roman…-…ð‡2 Àðƒk‡2 Àøƒs‡2 À΃k‡2 Àȃs‡2 À.ƒO„û€þ‚ŽSymbol…-…ð‡2 À܃-‡2 ÀHƒ×‡2 Àºƒ-‡2 À¼ƒ×‡2 À°ƒ=„û ÿ‚ŽSymbol…-…ð‡2 ò ƒ-„û ÿ‚—Times New Roman…-…ð‡2 ‰ƒ0‡2 ú ƒ2‡2 ò‹ ƒ1‡2 Yƒ0„û€þ‚—Times New Roman…-…ð‡2 À܃4„û€þƒ¼—Times New Roman…-…ð ‡2 ÀE …sinh„û€þ“Symbol…-…ð‡2 À„ƒp †& ÿ…û‚¼"System…-…ðE<lpÉö„> ¡‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡ €†&ÿƒÀÿ¤ÿ‰À$ “& MathTypeð…ûøýゎSymbol…-‡2 µ™ƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 µ’ƒ)…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 Á˃(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 Áxƒ) …úƒ"…-‡@à‡@¦„û ÿ‚—Times New Roman‡…-…ð‡2 #׃0‡2 ƒ2„û€þƒ—Times New Roman‡…-…ð‡2 ÃFƒs‡2 ìƒO‡2 ·ºƒL‡2 ·ƒt‡2 ·ƒR‡2  FƒF„û€þ‚ŽSymbol…-…ð‡2 ·ƒ×‡2  ®ƒ= †& ÿ…û‚¼"System…-…ð‡lpõ=Ô F‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡ à@†&ÿƒÀÿµÿ‰• “& MathTypeÀ …úƒ"…-‡à‡„û ÿ‚—Times New Roman‡…-‡2 ×]ƒ2„û€þ‚—Times New Roman‡…-…ð‡2 ƒúƒ4„û€þƒ—Times New Roman‡…-…ð‡2 ƒjƒd‡2 wƒL‡2 `FƒF„û€þ‚ŽSymbol…-…ð‡2 ƒÚƒ×‡2 `®ƒ=„û€þ“Symbol…-…ð‡2 ƒ¢ƒp †& ÿ…û‚¼"System…-…ð‰€lpŒÆ A‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡  €†&ÿƒÀÿµÿ‰@Õ “& MathTypeà…ûøýゎSymbol…-‡2 Ń(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ¾ƒ) …úƒ"…-‡ª‡.„û€þƒ—Times New Roman…-…ð‡2 ƒ.ƒt‡2 ƒÐƒR‡2 wbƒs‡2 `:ƒd„û ÿ‚—Times New Roman…-…ð‡2 ×óƒ0„û€þ‚ŽSymbol…-…ð‡2 `xƒ= †& ÿ…û‚¼"System…-…ð¶­lp¿ |  _‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡ € †&ÿƒÀÿ©ÿ‰@ © “& MathTypeà …úƒ"…-‡=ê‡!# …úƒ"…-‡"#‡¾y…-‡¾y‡-Ї-Ї-‡ ʇ â‡ã ‡ô …-‡õ ‡‘r …-‡‘r ‡É ‡É ‡» …ûjýゎSymbol…-‡2 i–ƒ(…ûjýゎSymbol…-…ð‡2 iÙ ƒ)…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 aIƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 aBƒ)‡àª‡à7 „û€þƒ—Times New Roman…-…ð‡2 c²ƒt‡2 cTƒR‡2 lá ƒk‡2 lýƒs‡2 ™èƒk‡2 @:ƒd„û€þ‚ŽSymbol…-…ð‡2 lM ƒ×‡2 lƒ×‡2 @xƒ=„û ÿ‚—Times New Roman…-…ð‡2 ÌŽƒ0„û€þ‚—Times New Roman…-…ð‡2 ƒvƒ1„û€þƒ¼—Times New Roman…-…ð ‡2 lº…sin †& ÿ…û‚¼"System…-…ðƽlp‰œ @  g‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡ †&ÿƒÀÿ©ÿ‰À© “& MathTypeà …úƒ"…-‡=ê‡!# …úƒ"…-‡"#‡¾y…-‡¾y‡-Ї-Ї-Ö‡ ʇ ö‡9 ‡ôr …-‡õr ‡‘È …-‡‘È ‡ ‡ ‡%…ûjýゎSymbol…-‡2 iìƒ(…ûjýゎSymbol…-…ð‡2 iCƒ)…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 a~ƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 aw ƒ)‡àª‡à¡„û€þƒ—Times New Roman…-…ð‡2 cçƒt‡2 c‰ƒR‡2 lK ƒk‡2 lS ƒs‡2 ™üƒk‡2 @:ƒd„û€þ‚ŽSymbol…-…ð‡2 l7 ƒ-‡2 l£ ƒ×‡2 ™èƒ-‡2 @xƒ=„û ÿ‚—Times New Roman…-…ð‡2 Ìä ƒ0„û€þ‚—Times New Roman…-…ð‡2 ƒƒ1„û€þƒ¼—Times New Roman…-…ð ‡2 l>…sinh †& ÿ…û‚¼"System…-…ðvmlpÔOÈ ‡ ²ƒ‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡  †&ÿƒÀÿ¢ÿ‰à¢ “& MathTypep„û€þ‚—Times New Roman‚…-‡2 °ƒ0„ûÀýƒ—Times New Roman‚…-…ð‡2 @ƒs †& ÿ…û‚¼"System…-…ðkblph ŒØŠ ¶‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡  €†&ÿƒÀÿµÿ‰@Õ “& MathTypeà…ûøýゎSymbol…-‡2 ^ƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ^†ƒ)…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 Ã(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ¼ƒ) …úƒ"…-‡¨‡,„û€þƒ—Times New Roman‡…-…ð‡2 ƒ,ƒt‡2 ƒÎƒR‡2 `öƒt‡2 `ìƒs‡2 `@ƒs„û€þ‚—Times New Roman‡…-…ð‡2 wŠƒ1„û ÿ‚—Times New Roman‡…-…ð‡2 Àу0„û€þ‚ŽSymbol…-…ð‡2 `ƒ×‡2 `ºƒ= †& ÿ…û‚¼"System…-…ðlpŒ•Ô ‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡ ` †&ÿƒÀÿ»ÿ‰à “& MathType`„û ÿ‚—Times New Roman‡…-‡2 ô{ƒ1‡2 ܃0„û ÿ‚ŽSymbol…-…ð‡2 ôƒ-„û€þ‚ŽSymbol…-…ð‡2  ƒ×„û€þƒ—Times New Roman‡…-…ð‡2  ®ƒH‡2  4ƒc †& ÿ…û‚¼"System…-…ðvmlpaOÈ ‡ ²ƒ‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡  †&ÿƒÀÿ¢ÿ‰à¢ “& MathTypep„û€þ‚—Times New Roman‡…-‡2 °$ƒ0„ûÀýƒ—Times New Roman‡…-…ð‡2 .ƒv †& ÿ…û‚¼"System…-…ðlpŒ`ê  ˜‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡   †&ÿƒÀÿµÿ‰àÕ “& MathTypeà…ûøýゎSymbol…-‡2 ^kƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ^dƒ)…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 uÃ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 u¼ƒ)…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ðƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 éƒ) …úƒ"…-‡Õ‡Y …ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ^Ÿƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ^˜ƒ)…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 uéƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 u$ƒ)…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ýƒ)‡€‡”…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ^‹ƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ^„ƒ)„û€þƒ—Times New Roman…-…ð‡2 `ôƒt‡2 `fƒs‡2 ƒÍƒR‡2 w¦ƒR‡2 `ƒt‡2 `z ƒs‡2 `÷ ƒH‡2 ƒYƒt‡2 ƒûƒR‡2 w,ƒt‡2 w"ƒs‡2 `RƒH‡2 `Ôƒt‡2 `4ƒv„û ÿ‚—Times New Roman…-…ð‡2 À÷ƒ0‡2 À ƒ0‡2 À% ƒ0‡2 À€ƒ0‡2 À׃0„û€þ‚—Times New Roman…-…ð‡2 ƒ1ƒ0‡2 wXƒ0„û€þ‚ŽSymbol…-…ð‡2 `Ѓׇ2 aƒ¢‡2 `Nƒ=‡2 `ä ƒ×‡2 `¿ ƒ=‡2 `?ƒ×‡2 `ƒ= †& ÿ…û‚¼"System…-…ðoflpKŒð ’  ¼‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡   †&ÿƒÀÿµÿ‰`Õ “& MathTypeà…ûøýゎSymbol…-‡2 ^çƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ^àƒ)…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ^ƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ^ƒ)…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ^Óƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ^̃)…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 u ƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 u ƒ)…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ö ƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ï ƒ) …úƒ"…-‡´ ‡† …ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ^ùƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ^òƒ)„û€þƒ—Times New Roman…-…ð‡2 `bƒt‡2 `Xƒs‡2 ƒ_ ƒt‡2 ƒ ƒR‡2 w† ƒt‡2 wÚ ƒR‡2 `<ƒt‡2 `2ƒs‡2 `€ƒt‡2 `΃H‡2 `Pƒt‡2 `4ƒv„û€þ‚ŽSymbol…-…ð‡2 ` ƒ×‡2 aÄ ƒ¢‡2 `‚ ƒ=‡2 `œƒ×‡2 `–ƒ= †& ÿ…û‚¼"System…-…ð§žlpÉŒ`   X‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡  †&ÿƒÀÿµÿ‰ÀÕ “& MathTypeà…ûøýゎSymbol…-‡2 uXƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 uQƒ)…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ©ƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ¢ƒ) …úƒ"…-‡@‡…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 u%ƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 uƒ)…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 Nƒ)‡ª‡¾„û€þ‚—Times New Roman‡…-…ð‡2 ƒ‚ƒ0„û ÿ‚—Times New Roman‡…-…ð‡2 בƒ0„û€þƒ—Times New Roman‡…-…ð‡2 ƒÐƒR‡2 wŽƒt‡2 wîƒv‡2 ƒƒt‡2 ƒfƒR‡2 wÁƒt‡2 w¥ƒv„û€þ‚ŽSymbol…-…ð‡2 mºƒ¢‡2 `xƒ=‡2 mPƒ¢ †& ÿ…û‚¼"System…-…ðxolp7öø ¤  ¾‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡ € †&ÿƒÀÿµÿ‰`5 “& MathTypeð…ûøýゎSymbol…-‡2 ž3ƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 žƒ) …úƒ"…-‡@ò‡@…ûýゎSymbol…-…ð‡2 u ƒ(…ûýゎSymbol…-…ð‡2 Nƒ)„û ÿ‚—Times New Roman…-…ð‡2 ôìƒ2‡2 ǃ0‡2 ôåƒ2‡2  ƒ0‡2 Òoƒ2„û€þ‚—Times New Roman…-…ð‡2  }ƒ1‡2   ƒ1‡2  Tƒ1‡2 ·'ƒ1„û€þƒ—Times New Roman…-…ð‡2  ™ƒH‡2  æ ƒR‡2 ÃR‡2  ´ƒR„û€þ‚ŽSymbol…-…ð‡2  ýƒ×‡2 !=ƒ÷‡2 £=ƒ÷‡2 =ƒø‡2 ­=ƒö‡2 !xƒç‡2 £xƒç‡2 xƒè‡2 ­xƒæ‡2  ƒ+‡2  VƒW‡2  Ìƒ×‡2  ¶ƒ-‡2  ` ƒ+‡2  ^ ƒW‡2  Ô ƒ×‡2 à ƒ÷‡2 ÷ ƒø‡2 Í ƒö‡2 Ã,ƒç‡2 ÷,ƒè‡2 Í,ƒæ‡2  jƒ-‡2  Xƒ=‡2 Šžƒ¢„û ÿ‚ŽSymbol…-…ð‡2 ‹ƒL †& ÿ…û‚¼"System…-…ðÒÉlp¼ X  ï‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡  `†&ÿƒÀÿµÿ‰ U “& MathTypeð…ûøýゎSymbol…-‡2 ¾çƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ¾àƒ)…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ¾óƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ¾ìƒ) …úƒ"…-‡`Ƈ`ð …ûýゎSymbol…-…ð‡2 ½Iƒ(…ûýゎSymbol…-…ð‡2 ½"ƒ)‡Ù‡½G …úƒ"…-‡¾G‡T…-‡T‡Kô‡Kô‡K„û€þ‚—Times New Roman…-…ð‡2 ÀQƒ1‡2 Àtƒ1‡2 À( ƒ1‡2 ×ûƒ1„û ÿ‚—Times New Roman…-…ð‡2 ¹ƒ2‡2 cƒ0‡2 _ƒ0„û€þ‚ŽSymbol…-…ð‡2 Àaƒ+‡2 À*ƒW‡2 À ƒ×‡2 ÀŠƒ-‡2 À4ƒ+‡2 À2 ƒW‡2 À¨ ƒ×‡2 ãè ƒ÷‡2 è ƒø‡2 íè ƒö‡2 ãƒç‡2 ƒè‡2 íƒæ‡2 À> ƒ-‡2 Àxƒ×‡2 À–ƒ=„û ÿ‚ŽSymbol…-…ð‡2 _ƒL„û€þƒ—Times New Roman…-…ð‡2 ÀºƒR‡2 ãìƒR‡2 À\ƒt‡2 À¼ƒv‡2 ÀPƒt‡2 À4ƒv †& ÿ…û‚¼"System…-…ðxlpô aô¶ ½‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡    †&ÿƒÀÿ¬ÿ‰` Ì “& MathTypeP…ûøýゎSymbol…-‡2 ~/ƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ~(ƒ)…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ~Gƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ~@ ƒ)…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ~ ƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ~ü ƒ)„û€þƒ—Times New Roman‡…-…ð‡2 €l ƒt‡2 €b ƒs‡2 €°ƒt‡2 €þƒH‡2 €èƒc‡2 €˜ƒt‡2 €@ƒs„û€þ‚ŽSymbol…-…ð‡2 €Ì ƒ×‡2 €Øƒ+‡2 € ƒ±‡2 €Þƒ=‡2 jÖƒ¢ †& ÿ…û‚¼"System…-…ðkblp_ŒÐŠ ´‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡   †&ÿƒÀÿµÿ‰`Õ “& MathTypeà…ûøýゎSymbol…-‡2 ^ƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ^ˆƒ)…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 uÙƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 uÒƒ)…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ²ƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 «ƒ) …úƒ"…-‡p‡B„û€þƒ—Times New Roman‡…-…ð‡2 ƒƒt‡2 ƒ½ƒR‡2 wBƒt‡2 w–ƒR‡2 `øƒt‡2 `FƒH„û€þ‚ŽSymbol…-…ð‡2 a€ƒ¢‡2 `>ƒº †& ÿ…û‚¼"System…-…ðg^lp”{¼‚ /‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡ @À†&ÿƒÀÿ¬ÿ‰€ì “& MathType`„û ÿ‚—Times New Roman‡…-‡2 àƒ0‡2 àeƒ0„û€þƒ—Times New Roman‡…-…ð‡2 €áƒH„û€þƒ¼—Times New Roman‡…-…ð‡2 €ƒ,‡2 €ƒ,„û ÿ‚ŽSymbol…-…ð‡2 à=ƒL„û€þ‚ŽSymbol…-…ð‡2 €ƒW‡2 €4ƒW †& ÿ…û‚¼"System…-…ðoflpKŒð ’  ¼‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡   †&ÿƒÀÿµÿ‰`Õ “& MathTypeà…ûøýゎSymbol…-‡2 ^çƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ^àƒ)…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ^ƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ^ƒ)…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ^Óƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ^̃)…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 u ƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 u ƒ)…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ö ƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ï ƒ) …úƒ"…-‡´ ‡† …ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ^ùƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ^òƒ)„û€þƒ—Times New Roman‡…-…ð‡2 `bƒt‡2 `Xƒs‡2 ƒ_ ƒt‡2 ƒ ƒR‡2 w† ƒt‡2 wÚ ƒR‡2 `<ƒt‡2 `2ƒs‡2 `€ƒt‡2 `΃H‡2 `Pƒt‡2 `4ƒv„û€þ‚ŽSymbol…-…ð‡2 ` ƒ×‡2 aÄ ƒ¢‡2 `‚ ƒ=‡2 `œƒ×‡2 `–ƒ= †& ÿ…û‚¼"System…-…ð–lpä{à G‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡ @`†&ÿƒÀÿ¬ÿ‰ ì “& MathType`…ûøýゎSymbol…-‡2 ~3ƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ~ȃ)„û€þ“Symbol…-…ð‡2 €®ƒj‡2 €:ƒq„û€þƒ¼—Times New Roman…-…ð‡2 €Tƒ,‡2 €ìƒ,„û ÿ‚—Times New Roman…-…ð‡2 à?ƒ0„û€þƒ—Times New Roman…-…ð‡2 €®ƒs †& ÿ…û‚¼"System…-…ðSJlpo{œZ §‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡ @à†&ÿƒÀÿ¬ÿ‰ ì “& MathType`…ûøýゎSymbol…-‡2 ~3ƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ~@ƒ)„û€þ“Symbol…-…ð‡2 €& ƒj‡2 € ƒj‡2 €Žƒq‡2 €vƒq„û€þƒ—Times New Roman…-…ð‡2 €f ƒd‡2 €Îƒd‡2 €*ƒds‡2 €®ƒs„û€þ‚ŽSymbol…-…ð‡2 €L ƒ+‡2 €´ƒ+‡2 €ƒ+„û€þƒ¼—Times New Roman…-…ð‡2 €¨ ƒ,‡2 €(ƒ,„û ÿ‚—Times New Roman…-…ð‡2 à{ƒ0‡2 à?ƒ0 †& ÿ…û‚¼"System…-…ði`lpc•à †  ¸‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡ `à†&ÿƒÀÿ»ÿ‰  “& MathType`…ûøýゎSymbol…-‡2 žYƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 žRƒ)…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ž½ƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 žƒ)…ûýゎSymbol…-…ð‡2  ƒ(…ûýゎSymbol…-…ð‡2 öƒ)…ûýゎSymbol…-…ð‡2 iƒ(…ûýゎSymbol…-…ð‡2 Vƒ)„û ÿ‚—Times New Roman…-…ð‡2 ôUƒ2‡2 ô)ƒ2‡2 ôOƒ2‡2 ôÕ ƒ2‡2 » ƒ0‡2 ô9 ƒ2‡2  ƒ0‡2 ôŃ2‡2 ô¥ƒ2„û€þ“Symbol…-…ð‡2  >ƒj‡2  ƒq‡2  Dƒq„û€þƒ—Times New Roman…-…ð‡2  ~ƒd‡2  „ ƒd‡2  * ƒs‡2  Îƒds‡2  Âƒt‡2  ÆƒR‡2  :ƒds„û€þƒ¼—Times New Roman…-…ð ‡2  F…sin„û€þ‚ŽSymbol…-…ð‡2   ƒ+‡2  ” ƒ×‡2   ƒ+‡2  Þƒ×‡2  Žƒ= †& ÿ…û‚¼"System…-…ðrilp•ܘ ·‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡ `€†&ÿƒÀÿ»ÿ‰@ “& MathType`…ûøýゎSymbol…-‡2 žƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 žÓ ƒ)„û ÿ‚—Times New Roman…-…ð‡2 ô΃2‡2 ©ƒ0‡2 ô ƒ2‡2 ƒ0„û€þ‚—Times New Roman…-…ð‡2  % ƒ1„û€þƒ—Times New Roman…-…ð‡2  { ƒH‡2  é ƒc‡2  :ƒk„û€þ‚ŽSymbol…-…ð‡2  ß ƒ×‡2  _ ƒ×‡2  ;ƒ-‡2  ƒW‡2  ðƒ+‡2  îƒW‡2  Zƒ=„û ÿ‚ŽSymbol…-…ð‡2 ô¦ ƒ-‡2 9ƒL †& ÿ…û‚¼"System…-…ðÿlp±$Ê<Ä  ‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡ €@!†&ÿƒÀÿ¬ÿ‰!, “& MathType`…ûøýゎSymbol…-‡2 ¾Yƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ¾Rƒ) …úƒ"…-‡d‡Hº …úƒ"…-‡Iº‡å…-‡å‡Tg‡Tg‡TY…ûjýゎSymbol…-…ð‡2 ½4ƒ(…ûjýゎSymbol…-…ð‡2 ½wƒ)…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ¾ƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ¾sƒ)…ûýゎSymbol…-…ð‡2 ½|ƒ(…ûýゎSymbol…-…ð‡2 ½S ƒ)…ûjýゎSymbol…-…ð‡2 ½jƒ(…ûjýゎSymbol…-…ð‡2 ½³ ƒ)„û ÿ‚—Times New Roman…-…ð‡2 ²ƒ2‡2 †ƒ2‡2 ¬ƒ2‡2 ,ƒ0‡2 ƒ2‡2 p ƒ1‡2 6 ƒ2‡2  ƒ0‡2 Ń2‡2 ¥ƒ2„û€þ“Symbol…-…ð‡2 À›ƒj‡2 Àeƒq‡2 À¡ƒq„û€þƒ—Times New Roman…-…ð‡2 ÀÛƒd‡2 Àáƒd‡2 Àƒk‡2 À›ƒs‡2 À! ƒk‡2 À˃ds‡2 Àƒt‡2 ÀƃR‡2 À:ƒds„û€þƒ¼—Times New Roman…-…ð ‡2 À£…sin ‡2 Àº …sin„û€þ‚ŽSymbol…-…ð‡2 À}ƒ+‡2 Àñƒ×‡2 Àëƒ×‡2 À ƒ×‡2 À ƒ+‡2 Àރׇ2 ÀŽƒ=„û ÿ‚ŽSymbol…-…ð‡2 ö ƒ- †& ÿ…û‚¼"System…-…ð”‹lp4(Ê\Ü ×‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡ €€$†&ÿƒÀÿ½ÿ‰@$= “& MathType`…ûøýゎSymbol…-‡2 ¾Yƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ¾Rƒ)…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ¾ ƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ¾x ƒ) …úƒ"…-‡d°‡Hé …úƒ"…-‡Ié‡å?…-‡å?‡T–‡T–‡Tœ…ûjýゎSymbol…-…ð‡2 ½cƒ(…ûjýゎSymbol…-…ð‡2 ½ºƒ)…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ¾]ƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ¾¶ ƒ)…ûýゎSymbol…-…ð‡2 ½¿ƒ(…ûýゎSymbol…-…ð‡2 ½–#ƒ)…ûEýゎSymbol…-…ð‡2 ½kƒ(…ûEýゎSymbol…-…ð‡2 ½ö#ƒ)„û ÿ‚—Times New Roman…-…ð‡2 õ"ƒ2‡2 Ƀ2‡2 ïƒ2‡2 [ƒ0‡2 ̃2‡2 ò]ƒ1‡2 3 ƒ2‡2  ƒ0‡2 Ń2‡2 ¥ƒ2„û€þ“Symbol…-…ð‡2 ÀÞ!ƒj‡2 À¨ƒq‡2 Àäƒq„û€þƒ—Times New Roman…-…ð‡2 À!ƒd‡2 À$ƒd‡2 Àƒk‡2 Àʃs‡2 À  ƒk‡2 Àȃds‡2 Àƒt‡2 ÀƃR‡2 À:ƒds„û€þƒ¼—Times New Roman…-…ð ‡2 Àæ…sin ‡2 À…sinh„û€þ‚ŽSymbol…-…ð‡2 ÀÀƒ+‡2 À4ƒ×‡2 À®ƒ-‡2 Àƒ×‡2 ÀŒ ƒ-‡2 À ƒ+‡2 Àރׇ2 ÀŽƒ=„û ÿ‚ŽSymbol…-…ð‡2 òã ƒ- †& ÿ…û‚¼"System…-…ð–lpä{à G‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡ @`†&ÿƒÀÿ¬ÿ‰ ì “& MathType`…ûøýゎSymbol…-‡2 ~3ƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ~ȃ)„û€þ“Symbol…-…ð‡2 €®ƒj‡2 €:ƒq„û€þƒ¼—Times New Roman…-…ð‡2 €Tƒ,‡2 €ìƒ,„û ÿ‚—Times New Roman…-…ð‡2 à?ƒ0„û€þƒ—Times New Roman…-…ð‡2 €®ƒs †& ÿ…û‚¼"System…-…ðvmlp§{È ‡ ²ƒ‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡ @€†&ÿƒÀÿ¬ÿ‰@ì “& MathType`„û ÿ‚—Times New Roman‡…-‡2 àу0„û€þƒ—Times New Roman‡…-…ð‡2 €@ƒs †& ÿ…û‚¼"System…-…ðûòlpþ{èª z‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡ @ †&ÿƒÀÿ¬ÿ‰àì “& MathType`…ûøýゎSymbol…-‡2 ~áƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ~Úƒ)…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ~½ƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ~¶ƒ)„û ÿ‚—Times New Roman‡…-…ð‡2 àiƒ0„û€þƒ—Times New Roman‡…-…ð‡2 €Øƒs‡2 €&ƒt‡2 €ÈƒR‡2 €Jƒt‡2 €@ƒs„û€þ‚ŽSymbol…-…ð‡2 €Bƒ×‡2 €ƒ= †& ÿ…û‚¼"System…-…ðãÚlp+*Œì z  {‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡  @&†&ÿƒÀÿµÿ‰&Õ “& MathTypeà…ûøýゎSymbol…-‡2 ^éƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ^âƒ)…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 K ƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 D ƒ) …úƒ"…-‡Ì‡´ …ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ^̃(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ^Ń)…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ^Ùƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ^ƒ)…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ^'!ƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ^b"ƒ)„û ÿ‚—Times New Roman‚…-…ð‡2 À~%ƒ0‡2 ×· ƒ2‡2 × ƒ0‡2 ´ƒ2‡2 Àtƒ0„û€þ‚—Times New Roman‚…-…ð‡2 `–!ƒ0‡2 `̃1‡2 `Hƒ0‡2 ƒæƒ2„û€þƒ—Times New Roman‚…-…ð‡2 `P$ƒH‡2 `äƒR‡2 `äƒR‡2 `5ƒt‡2 `׃R‡2 ƒ´ ƒt‡2 ƒ¸ ƒR‡2 `Rƒt‡2 `vƒR‡2 `FƒH„û€þ‚ŽSymbol…-…ð‡2 `#ƒ=‡2 JÎ ƒ¢‡2 `ʃ=‡2 `;ƒ×‡2 `ƒW‡2 ` ƒ+‡2 wà ƒW‡2 `ă-‡2 `˜ƒ=‡2 Jƒ¢‡2 J`ƒ¢‡2 `ڃׄû ÿ‚ŽSymbol…-…ð‡2 ÀKƒL‡2 ´™ƒ-„û€þƒ¼—Times New Roman‚…-…ð‡2 `†ƒ,‡2 `¥ƒ, †& ÿ…û‚¼"System…-…ð÷lp¯{è´‡ úƒ‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡ @ †&ÿƒÀÿ¬ÿ‰àì “& MathType`„û ÿ‚ŽSymbol…-‡2 à=ƒL„û€þ‚ŽSymbol…-…ð‡2 €ƒW‡2 €4ƒW„û€þƒ¼—Times New Roman‡…-…ð‡2 €ƒ,„û ÿ‚—Times New Roman‡…-…ð‡2 àeƒ0 †& ÿ…û‚¼"System…-…ðvmlpa{È ‡ ²ƒ‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡ @ †&ÿƒÀÿ¬ÿ‰àì “& MathType`„û ÿ‚—Times New Roman‡…-‡2 àtƒ0„û€þƒ—Times New Roman‡…-…ð‡2 €FƒH †& ÿ…û‚¼"System…-…ðúlpÿ•h:‡ Úƒ‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡ `À†&ÿƒÀÿ»ÿ‰€ “& MathType`„û ÿ‚—Times New Roman‡…-‡2 ôƒ1‡2 tƒ0„û ÿ‚ŽSymbol…-…ð‡2 ô™ƒ-„û€þƒ—Times New Roman‡…-…ð‡2  FƒH †& ÿ…û‚¼"System…-…ðvmlpa{È ‡ ²ƒ‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡ @ †&ÿƒÀÿ¬ÿ‰àì “& MathType`„û ÿ‚—Times New Roman‡…-‡2 àtƒ0„û€þƒ—Times New Roman‡…-…ð‡2 €FƒH †& ÿ…û‚¼"System…-…ðöílp3 §ä  y‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡ @`†&ÿƒÀÿµÿ‰ õ “& MathTypeð…ûøýゎSymbol…-‡2 ǃ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 Àƒ) …úƒ"…-‡¬‡„û ÿ‚—Times New Roman‚…-…ð‡2 ãsƒ0„û€þƒ—Times New Roman‚…-…ð‡2 ƒâƒs‡2 ƒ0ƒt‡2 ƒÒƒR‡2 w ƒs„û€þ‚ŽSymbol…-…ð‡2 ƒLƒ×‡2 w!ƒD‡2 `zƒ=‡2 `:ƒD„û€þ“Symbol…-…ð‡2 `$ƒq †& ÿ…û‚¼"System…-…ðlpÜ< Ô  ‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡ ``†&ÿƒÀÿµÿ‰  Ž& MathType‚…ûøýゎSymbol…-‡2 ²Çƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ²Àƒ) …úƒ"…-‡­6‡­ ‡X¿ ‡<ø …úƒ"…-‡=ø ‡ÙN…-‡ÙN‡H¥‡H¥‡H—…ûjýゎSymbol…-…ð‡2 ±r ƒ(…ûjýゎSymbol…-…ð‡2 ±µƒ)‡¬‡„û€þƒ—Times New Roman…-…ð‡2 ´½ƒk‡2 ´Ù ƒs‡2 ´Üƒk‡2 ´0ƒt‡2 ´ÒƒR‡2 w ƒs„û€þ‚ŽSymbol…-…ð‡2 ´) ƒ×‡2 ´úƒ×‡2 ´Lƒ×‡2 w ƒD‡2 `zƒ=‡2 `:ƒD„û ÿ‚ŽSymbol…-…ð‡2 屃-„û ÿ‚—Times New Roman…-…ð‡2 j ƒ0„û`ÿ‚—Times New Roman…-…ð‡2 9Fƒ2‡2 žCƒ1„û€þƒ¼—Times New Roman…-…ð ‡2 ´– …sin„û€þ“Symbol…-…ð‡2 `$ƒq †& ÿ…û‚¼"System…-…ð¬£lpSÜ|  ß‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡ `@†&ÿƒÀÿµÿ‰ Ž& MathType‚…ûøýゎSymbol…-‡2 ±Çƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ±Àƒ)…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ±Õƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ±6 ƒ) …úƒ"…-‡­& ‡­ ‡W‡;º …úƒ"…-‡<º‡Ø…-‡Ø‡Gg‡Gg‡Gm…ûjýゎSymbol…-…ð‡2 °4ƒ(…ûjýゎSymbol…-…ð‡2 °‹ƒ)‡¬‡é„û€þƒ—Times New Roman…-…ð‡2 ³“ƒk‡2 ³›ƒs‡2 ³^ƒk‡2 ³0ƒt‡2 ³ÒƒR‡2 wô ƒs„û€þ‚ŽSymbol…-…ð‡2 ³ƒ-‡2 ³ëƒ×‡2 ³ê ƒ×‡2 ³Jƒ-‡2 ³Lƒ×‡2 w ƒD‡2 `zƒ=‡2 `:ƒD„û ÿ‚ŽSymbol…-…ð‡2 å¡ ƒ-„û ÿ‚—Times New Roman…-…ð‡2 ,ƒ0„û`ÿ‚—Times New Roman…-…ð‡2 96 ƒ2‡2 ž3 ƒ1„û€þƒ¼—Times New Roman…-…ð ‡2 ³† …sinh„û€þ“Symbol…-…ð‡2 `$ƒq †& ÿ…û‚¼"System…-…ðûlp4=𼇠üƒ‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡ à †&ÿƒÀÿµÿ‰`• “& MathTypeÀ …úƒ"…-‡¬‡`„û€þƒ—Times New Roman…-‡2 ƒƒd‡2 w°ƒs„û€þ‚ŽSymbol…-…ð‡2 wƃD‡2 `zƒ=‡2 `:ƒD„û€þ“Symbol…-…ð‡2 `$ƒq †& ÿ…û‚¼"System…-…ðoflpÀ{È’ 2‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡ @†&ÿƒÀÿ¬ÿ‰Àì “& MathType`…ûøýゎSymbol…-‡2 ~¥ƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ~žƒ)„û ÿ‚—Times New Roman…-…ð‡2 àQƒ0„û€þƒ—Times New Roman…-…ð‡2 €Àƒs‡2 €ƒt‡2 €°ƒR‡2 €:ƒd„û€þ‚ŽSymbol…-…ð‡2 €*ƒ×‡2 €xƒ= †& ÿ…û‚¼"System…-…ðŸ–lp¤åT ò U‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡   †&ÿƒÀÿ³ÿ‰àS “& MathType`…ûøýゎSymbol…-‡2 Þ¥ƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 Þžƒ) …úƒ"…-‡Ù‡Ù~‡„ ‡hÖ …úƒ"…-‡iÖ ‡, …-‡, ‡tƒ ‡tƒ ‡tu…ûjýゎSymbol…-…ð‡2 ÝP ƒ(…ûjýゎSymbol…-…ð‡2 Ý“ƒ)„û€þƒ—Times New Roman…-…ð‡2 à› ƒk‡2 à· ƒs‡2 ຃k‡2 àƒt‡2 à°ƒR‡2 à:ƒd„û€þ‚ŽSymbol…-…ð‡2 à ƒ×‡2 àØƒ×‡2 à*ƒ×‡2 àxƒ=„û ÿ‚ŽSymbol…-…ð‡2 ƒ-„û ÿ‚—Times New Roman…-…ð‡2 @H ƒ0„û`ÿ‚—Times New Roman…-…ð‡2 e$ƒ2‡2 Ê!ƒ1„û€þƒ¼—Times New Roman…-…ð ‡2 àt…sin †& ÿ…û‚¼"System…-…ð;2lpûå” *  ¥‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡  †&ÿƒÀÿ²ÿ‰ÀR “& MathType`…ûøýゎSymbol…-‡2 Þ¥ƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 Þžƒ)…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 Þ³ƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 Þƒ) …úƒ"…-‡Ú ‡Ún ‡„_‡h˜ …úƒ"…-‡i˜‡î…-‡î‡tE‡tE‡tK…ûjýゎSymbol…-…ð‡2 Ý ƒ(…ûjýゎSymbol…-…ð‡2 Ýiƒ)„û€þƒ—Times New Roman…-…ð‡2 àqƒk‡2 ày ƒs‡2 à<ƒk‡2 àƒt‡2 à°ƒR‡2 à:ƒd„û€þ‚ŽSymbol…-…ð‡2 à]ƒ-‡2 àɃׇ2 àÈ ƒ×‡2 à(ƒ-‡2 à*ƒ×‡2 àxƒ=„û ÿ‚ŽSymbol…-…ð‡2 ƒ-„û ÿ‚—Times New Roman…-…ð‡2 @ ƒ0„û`ÿ‚—Times New Roman…-…ð‡2 f ƒ2‡2 Ë ƒ1„û€þƒ¼—Times New Roman…-…ð ‡2 àd …sinh †& ÿ…û‚¼"System…-…ð?6lp* {h2 ‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡ @ †&ÿƒÀÿ¬ÿ‰à ì “& MathType`„û€þ‚—Times New Roman‡…-‡2 €A ƒ1„û ÿ‚—Times New Roman‡…-…ð‡2 à ƒ0„û€þ‚ŽSymbol…-…ð‡2 €?ƒ>‡2 €ðƒW‡2 €Üƒ+‡2 €ÚƒW‡2 €´ƒº‡2 €4ƒW„û ÿ‚ŽSymbol…-…ð‡2 à%ƒL †& ÿ…û‚¼"System…-…ð lpñÜ@ Þ  ‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡ `€†&ÿƒÀÿµÿ‰@ Ž& MathType‚…ûøýゎSymbol…-‡2 ^¹ƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ^²ƒ)…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ^ ƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ^ü ƒ) …úƒ"…-‡i>‡Mw …úƒ"…-‡Nw‡Í…-‡Í‡!$‡!$‡!‡‡=„û€þ‚—Times New Roman‚…-…ð‡2 mƒ1„û ÿ‚—Times New Roman‚…-…ð‡2 ígƒ0‡2 ´Ä ƒ1‡2 À6 ƒ0„û€þ‚ŽSymbol…-…ð‡2 ƒƒ-‡2 LƒW‡2 8ƒ+‡2 6ƒW‡2 `ˆƒ×‡2 `r ƒ×‡2 `lƒ×‡2 `hƒ=‡2 `ƒ-„û ÿ‚ŽSymbol…-…ð‡2 íƒL‡2 ´[ ƒ-„û€þ“Symbol…-…ð‡2 wƒp„û€þƒ—Times New Roman‚…-…ð‡2 `l ƒt‡2 ` ƒR‡2 ` ƒH‡2 `Žƒc‡2 `"ƒt ‡2 `2…max‡2 `@ƒs †& ÿ…û‚¼"System…-…ð<3lp±$=x, ‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡ à@!†&ÿƒÀÿ»ÿ‰!› “& MathTypeÀ …úƒ"…-‡ž‡…ûøýゎSymbol…-‡2 ^ƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ^ºƒ)…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ^Mƒ(…ûøýゎSymbol…-…ð‡2 ^ˆƒ)„û€þƒ—Times New Roman‚…-…ð‡2 `H ƒc‡2 `^ƒs‡2 `Þ ƒs‡2 `èƒs‡2 ‰ëƒR‡2 qăR‡2 `Žƒc‡2 `@ƒs„û€þ‚ŽSymbol…-…ð‡2 `jƒ±‡2 `>ƒ=‡2 Jôƒ¢‡2 `pƒ=‡2 `Rƒ×‡2 [®ƒ¢‡2 `~ƒ+‡2 `°ƒ±‡2 `„ƒ=‡2 JÖƒ¢„û€þ‚—Times New Roman‚…-…ð‡2 `¼ƒ0‡2 `–ƒ0‡2 `îƒ0„û€þƒ¼—Times New Roman‚…-…ð‡2 `nƒ, †& ÿ…û‚¼"System…-…ð/&lpÛ=H ‚ …‚ÿ‚….ƒ1‚ ‡ à †&ÿƒÀÿ»ÿ‰à› “& MathTypeÀ …úƒ"…-‡ò‡j„û€þƒ—Times New Roman‚…-‡2 `<ƒs‡2 ‰?ƒR‡2 qƒR‡2 `4ƒv„û€þ‚ŽSymbol…-…ð‡2 `¦ƒ×‡2 [ƒ¢‡2 `Àƒ=„û ÿ‚—Times New Roman‚…-…ð ‡2 ÀÛ…rum †& ÿ…û‚¼"System…-…ð‹‚lqOÙ:Hubble‚‰Z‡main?mainÀ;HubbleŸ‚Oz0WGä ô ”OŸm##ÊO,‡lGÆŸŸŸ€€;o2oÿÿÿÿ LÿÿÿÿX1±ÿÿÿÿÿÿÿÿXŸ(dR/dt)/R, ekspansionsrateG Ÿ( €>€°Œ€€‚ÿ(dR/dt)/R, ekspansionsrate |X¬‘ ð€€€‚‚‚ƒ†"€‚‚€€€€€€‚‚€€€€‚‚ƒ€†"€‚‚€€€‚‚‚ƒ€†"€‚‚€‚‚ƒ€†"€‚ÿEkspansionsraten for universet på et givet tidspunkt er givet vedFormlen for H(t) er identisk med definitionen på Hubble-konstanten til tidspunktet t.Tiden måles her i Hubbletider, derfor er enheden for denne størrelseEnhed for H(t):Til tidspunktet 0 (nu!) bliver H derfor præcis 1.Hubblekonstanten måles ofte i andre enheder, fxellers=Ÿ6 <€|€€‚€‚‚ƒ€†"€‚ÿHubblekonstanten har formodentlig værdien (år 2000)X'¬w1a ÿÿÿÿÿÿÿÿwÈAForkerte kosmologiske afstandsformler_1Q)È( €R€°Œ€€‚ÿForkerte kosmologiske afstandsformler†\wN* $€¸€€‚€€‚ÿDer anvendes i litteraturen flere afstandsformler, der ikke er i overensstemmelse med rEÈÀ- *€Š€PÈ:‚H€ƒ‚ƒ€‚ÿa)det kosmologiske princip ogb)den generelle relativitetsteori[3N( €f€€‚‚€‚ÿDen vel nok mest populære formel er følgende:6ÀQ1 2€ €@€ †"€€‚ÿÕ¥&0 .€K€€ ‚€ €‚‚€‚ÿz er rødforskydningen bestemt fra galaksens spektrum.Baggrunden for denne formel er den specielle relativitetsteori, samt Hubbles formel for galaksers fart:6Q\1 2€ €@€ †"€€‚ÿ—G&óP n€“€€ ‚€€ †"€€‚‚‚ƒƒ€ †"€‚‚€‚‚‚‚ÿhvor er galaksens nuværende hastighed i forhold til iagttageren (os).Rødforskydningen bestemmes udfra bølgelængden af en linie i spektret:Benyttes nu den specielle relativitetsteori, kan vi finde hastigheden af det inertialsystem, hvori bølgegiveren er i hvile - og hvis bevægelse i forhold til iagttageren giver anledning til denne bølgelængdeændring.Dette kan gøres på følgende måde:I bølgegiverens hvilesystem er bølgelængden laboratoriebølgelængden. Vi følger to bølgefronter, der bevæger sig udad x-aksen med lyshastigheden og afstanden en lab-bølgelængde:›\ y À€?€€‚ƒƒ€ †"€ ‚‚€€ €‚‚ƒƒ€ †"€ ‚‚€‚‚‚ƒƒ€ †"€ ‚‚€‚‚ƒƒ€ †"€ ‚ÿDisse parameterfremstillinger oversættes nu til et andet system, der bevæger sig udad x-aksen med hastigheden v (speciel relativitetsteori)Her refererer de mærkede størrelser til iagttager-koordinatsystemet.De to parameterfremstillinger for de to bølgefronter oversættes til iagttager-systemet:Fratrækkes den øverste ligning fra den nederste, finder vi efter lidt reduktion–ó € ΀3€€ ‚€‚‚ƒƒ€ †"€ ‚‚€‚‚ƒƒ€ †"€‚‚€€ €€ €‚€ €€ €‚‚ƒƒ€ †"€‚‚€‚ÿIdet gamma er defineret veder det let at vise, at Men vestresiden er ifølge definitionen på rødforskydningen z kvadratet på (z+1)!Isoleres så v/c fra denne formel, finder viSammenholdes denne formel med Hubbles lov ovenfor, fås netop den forst nævnte afstandsformel. Baggrunden er altså den specielle realtivitetsteoris opfattelse af rum og tid. Og ikke den generelle relativitetsteoris opfattelse af rum og tid, hvor også rummet er en dynamisk størrelse, der kan udvide sig/trække sig sammen.ªC S@g œ€‹€€€ €€ €€ €‚‚‚ƒƒ†"€‚‚‚‚ƒƒ€ †"€‚‚€€ €€ €‚ÿSom det fremgår, vil hastigheden v aldrig overstige lysets fart c - det er nok grunden til denne formels popularitet. Dette gælder imidlertid ikke på kosmologiske afstande, hvor der ingen øvre grænse er for galaksernes hastighed. Kun lokalt er lysets fart c en øvre grænse.En anden populær formel ersom kombineres med Hubbles lov til afstandsformlenBegge formler er korrekte for små værdier af z - men kun op til en z-værdi på omkring 0,1, hvis der forlanges en nøjagtighed på få S@procent. Iøvrigt afhænger nøjagtigheden af de kosmologiske parametre.±w A: D€ð€€‚€ €‚‚ƒƒ†"€€‚ÿDen sidst nævnte afstandsformel er faktisk helt korrekt for alle værdier af z for de kosmologiske parametreV%S@ZA1<g†`ZA«A¶FFotonbevægelse i en kosmologisk modelQ)A«A( €R€°Œ€ €‚ÿFotonbevægelse i en kosmologisk model0ÉZAÛCg œ€•€‚8€‚€ €€ €€ €‚‚‚ƒƒ†"€‚‚€ €€ €€ €€ €€ €‚ÿProgrammet beregner - hvis du vælger denne mulighed - to fotonspor, nemlig (t,s)-sporet eller (z,s) - sporet af de fotoner, der når iagttageren (i punktet (0,0)) netop nu, og det fremtidige spor af de fotoner, der forlader os netop nu. Bevægelsesligningen for denne fotonbevægelse er givet vedhvor c er lysets fart i det tomme rum, og s(t) er positionen af fotonen på tidspunktet t. Mærket betyder differentiation m.h.t. tiden t.Ûœ«A¶F? L€9€‚8€‚€ €€ €€ €€ €‚ÿDet bemærkes, at hvis den kosmologiske model har et endeligt rum (altså positiv rumkrumning), så kan fotonen tilsyneladende bevæge sig uden for dette univers! Forklaringen på dette er, at fotonen - når den er længst borte - bevæger sig videre, men i virkeligheden er på vej tilbage til (0,0)!Det skal bemærkes, at fotonsporet (t,s) tilbage i tiden også giver placeringen af de galakser/objekter, der udsendte de fotoner, vi nu modtager (udsendt til tidspunktet t og afstanden i s fra os). Men i modsætning til fotonerne, der forsøger at tilbagelægge afstanden ned til os, følger galakserne rummets almindelige udvidelse, givet ved skalafaktorens udvikling.IÛCÿF1ÉÿÿÿÿÿÿÿÿÿFCGÛLFotonpositions-parameterD¶FCG( €8€°Œ€€‚ÿFotonpositions-parameteroDÿF²G+ &€ˆ€€‚€‚€‚ÿDenne parameter er kun interessant for endelige rum, dvs. for6CGèG1 2€ €@€ †"€€‚ÿP%²G8H+ &€J€€ ‚€‚€‚ÿHerved bliver rummets krumning8èGpH2 4€€@€ †"€‚€‚ÿå¥8HUK@ N€M€€‚‚ƒ€ †"€‚‚€€ €‚‚‚ÿet positivt tal og rummet har en endelige størrelse, nemligDette er den største afstand, to størrelser kan have til tidspunktet t.En foton vil i sin bevægelse bort fra iagttageren på et tidspunkt nå denne afstand. Her vil fotonen naturligvis ikke stoppe op og vende rundt - men vil fortsætte med at bevæge sig fremad - dog med det resultat, at den vil nærme sig iagttageren! Sammenlign med en person, der går en tur rundt langs en storcirkel på jorden. Når denne person er nået halvvejs rundt i forhold til udgangspunktet, og fortsætter sin gang lige ud - så er personen igen på vej tilbage til sit udgangspunkt! Også selvom kilometertælleren stadig tæller opad.†BpHÛLD V€‡€€€ €‚‚ƒ€ †"€‚‚€‚‚ƒ€‚ÿFor nu at afgøre, hvor fotonen befinder sig i dette endelige rum på tidspunktet t, indføres parameteren sigma, hvorSom det fremgår af udtrykket for rummets størrelse ovenfor, bliver denne parameter præcis 1, når fotonen har nået rummets fjerneste punkt, og 0 når fotonen er på iagttagerens plads (jorden).CUKM1ÈÿÿÿÿÿÿÿÿMZM €Hubble kosmografen<ÛLZM& €,€€ €‚ÿHubble kosmografenzM\Oˆ Þ€õ€€‚ãÌ#`+‰‚㉠‹“‰‚ã¡`L‰‚ãÈÍ·n‰‚ã°Ñó‰‚ãšòòœ‰‚‚‚ã¤Z^þ‰‚ã/øU‰‚ãHØ €‰‚ãY!^þ‰‚ã,‡‰‚㊠U‰‚ãv°Se‰‚㲄¦‰‚ÿFotonbevægelse i en kosmologisk modelHubble: numerisk løsning af kosmologiske modellerLøsningsmetodeLinie-element, 4-dimensional afstandRumlig afstandForkerte kosmologiske afstandsformlerSkalafaktor R(t)s-max - grafs_foton - grafFotonpositions-parameterOprindelig afstand sNuværende afstandOprindelig hastighed vNuværende hastighed•WZM €> L€®€ãë^iÛ€‰‚㈤‰‚ãÒ²W‰‚ãÎR‰‚ÿTiden t(dR/dt)/R, ekspansionsrateLuminositetsafstandVinkeldiameterafstand\O €ÛLb1\On€1ÿÿÿÿg†n€Ë€¶†Hubble: numerisk løsning af kosmologiske modeller]5 €Ë€( €j€°Œ€ €‚ÿHubble: numerisk løsning af kosmologiske modeller]ûn€(ƒb ’€û€‚8€ ‚€ã§ã^‰ãÌ#`+‰€ €‚‚ƒƒ†"€ƒƒ†"€‚‚€ €€ €‚ÿHubble-programmet beregner numeriske løsninger til den kosmologiske differentialligning og beregner på samme tid to fotonspor. Startbetingelserne indtastes før beregningen startes. Startbetingelserne for differentialligningen er: parameteren omega0, der angiver universets nuværende massetæthed, delt med den kritiske tæthed. Denne kritiske tæthed er hvor G er gravitationskonstanten, Ho er den nuværende Hubblekonstant. Desuden skal parameteren omegaL angives - denne er givet som :Ë€bƒ2 4€€‚8€‚ƒƒ†"€‚‚ÿS*(ƒµƒ) "€T€€€€‚ÿhvor L er den kosmologiske konstant. ‘bƒ¿…y À€+€‚8€‚€ €‚‚ƒƒ†"€‚‚€ €€ €€ €‚‚‚‚ƒƒ†"€†"€‚‚‚ƒƒ‚ƒƒ†"€‚‚‚ÿDen kosmologiske differentialligning for et stofdomineret univers er herefter hvor R er skalafaktoren (dimensionsløs), og mærket betyder differentiation m.h.t. tiden t - der skal måles i enheden 1/Ho.De to størrelser bestemmer tilsammen rummets krumning - og dermed, om rummet er endeligt eller uendeligt. Mere præcist erden størrelse, der afgør rummets krumning:8µƒ÷…1 2€€‚8€‚ƒƒ†"€‚ÿ¿€¿…¶†? L€€Ȱ‚8€‚ƒƒƒƒƒ€ ‚ƒƒ€€ ƒƒ€‚ÿNaturlige enheder i forbindelse med den kosmologiske differentialligning er Hubbletiden:1/HoHubblelængden:c/HoU$÷… ‡1"ÿÿÿÿÿÿÿÿ ‡[‡LLinie-element, 4-dimensional afstandP(¶†[‡( €P€°Œ€ €‚ÿLinie-element, 4-dimensional afstand K ‡û‡U z€š€€‚€ €€ €‚‚ƒƒ€†"€ €€†"€!€‚‚‚‚ÿEgentiden dt mellem to rumtidspunkter er givet vedF [‡Aˆ; F€€P…€‚„€ƒƒƒ€†"€"€‚ÿ1.k.û‡¬ˆ= J€^€€‚€‚‚ƒƒ€†"€#€‚‚‚‚ÿsåfremt rumkrumningen er 0, ogF Aˆòˆ; F€€P…€‚„€ƒƒƒ€†"€$€‚ÿ2.W/¬ˆI‰( €^€€‚€‚‚ÿhvis rumkrumningen er positiv, og endeligF òˆ‰; F€€P…€‚„€ƒƒƒ€†"€%€‚ÿ3.ÒI‰Ÿ‹> J€¥€€‚€‚‚€ €€ €‚‚€ €‚ÿhvis rumkrumningen er negativHer er so afstanden fra begyndelsespunktet til det betragtede objekt på tidspunktet t = 0, altså den nuværende afstand til objektet.Det fremgår, at det simpleste tilfælde er det første, hvor rummet er »fladt«, dvs. rumkrumningen er 0, således at den sædvanlige Euklidiske geometri er gældende.Da vi har valgt so som afstandsparameter, vil de geometriske komplikationer naturligvis ligge i vinkeldelen af afstandsformlen.­Z‰LS t€·€€€†"€&€‚€ €€ €€ €€ €€ €‚‚ÿGalakser i frit fald vil have faste værdier af de 3 rumkoordinater . Ikke desto mindre vil alle afstande - den radiale so såvel som de transversale (vinkelret på synslinien) vil blive ganget med fremskrivningsfaktoren (skalafaktoren) R(t) og således være tidsafhængige. Rummet siges at udvide sig med den lineære faktor R(t). DŸ‹1 ÿÿÿÿÿÿÿÿÏ­ÉLuminositetsafstand?LÏ( €.€°Œ€ €‚ÿLuminositetsafstand¡WpJ b€¯€€‚€€ €€ €€ €€ €€ €‚€‚ÿEn lysgiver med luminositeten L udsender sit lys på tidspunktet t (emissionstidspunktet). Iagttageren (os) modtager lyset fra denne lysgiver til tidspunktet t = 0. Det udsendte lys befinder sig nu i afstanden so fra lyskilden, og overfladen af en kugleflade med centrum i lysgiveren med radius so er ifølge den rumlige metrikC ϳ: D€€Pý~‚€ƒ€ †"€'€‚ÿ1.P%pÀ+ &€J€€ ‚€‚€‚ÿsåfremt rumkrumningen er 0, og³ÀLC ³RÀ: D€€Pý~‚€ƒ€ †"€(€‚ÿ2.d3À¶À1 2€f€€ ‚€€ €‚€‚ÿhvis rumkrumningen k er positiv og endeligC RÀùÀ: D€€Pý~‚€ƒ€ †"€)€‚ÿ3.¹¶À Ã[ „€s€€ ‚€€ €‚‚‚€ €€ €€ €€ €€ €€ €€ €‚ÿhvis rumkrumningen k er negativ.Det er derfor klart, at denne overflade er mindre for et rum med positiv krumning end i et fladt rum og større for et rum med negativ krumning end for et fladt rum.Men ikke bare spredes fotonerne over kuglefladen. Fotonernes bølgelængde forlænges med faktoren 1/R(t) hvor R(t) er skalafaktoren for alle kosmologiske afstande. Derfor vil fotonernes energi formindskes med faktoren R(t).“ùÀÅ~ Ê€+€€€ €€ €€ €€ €€ €‚‚‚ƒƒ€ †"€*‚‚€‚‚ƒƒ€ †"€+€ƒƒ€€‚‚€€ €‚ÿEndvidere vil tidsafstanden mellem fotonernes ved ankomsten til os være forøget med faktoren 1/R(t), og derfor formindskes luminositeten med faktoren R(t).Alt i alt bliver fluxen, vi ser fra lyskildenHvis vi vælger at skrive denne flux somdefinition af luminositetsafstand dhvor d pr. definition er luminositetsafstanden til lyskilden, finder vi ifølge ovenstående& ÃDÅ# €€€‚ÿC ŇÅ: D€€Pý~‚€ƒ€ †"€,€‚ÿ1.S"DÅÚÅ1 2€D€€ ‚€€ €‚€‚ÿmed rumkrumning k = 0, ogC ‡ÅÆ: D€€Pý~‚€ƒ€ †"€-€‚ÿ2.e4ÚÅ‚Æ1 2€h€€ ‚€€ €‚€‚ÿhvis rumkrumningen k er positiv, og endeligC ÆÅÆ: D€€Pý~‚€ƒ€ †"€.€‚ÿ3.¾V‚ƃÉh ž€­€€ ‚€€ €‚‚€ €€ €€ €‚€ €€ €€ €‚€ €€ €€ €‚ÿsåfremt rummets krumning k er negativ.I tilfældet 1. (fladt rum) er luminositetsafstanden d simpelthen vores afstand til lyskilden på nuværende tidspunkt, delt med skalafaktoren R(t).I tilfælde 2. er d mindre end i tilfældet 1, hvorfor lyskilden forekommer mere lysstærk end i tilfælde 1. Årsagen er naturligvis det mindre areal af kuglefladen i forhold til tilfælde 1.I tilfælde 3. er d større end i tilfældet 1, hvorfor lyskilden vil forekomme mindre lysstærk end i tilfældet 1. Årsagen er i dette tilfælde det større areal af kuglefladen sammenlignet med tilfælde 1.*ÅÆ­É% € €€‚‚‚ÿ?ƒÉìÉ1;x€ìÉ&Ê0ËLøsningsmetode:­É&Ê( €$€°Œ€ €‚ÿLøsningsmetode*ìÉPÊ' €€„8}€‚ÿà¶&Ê0Ë* "€m€€ã§ã^‰‚ÿDen kosmologiske differentialligning løses v.h.a. en 4.(5.)-ordens Runge Kutta metode med variabel steplængde. Oprindelsen til denne kode er SOFIE fra R.U.C, Keld Helsgaun 1980.BPÊrË1"ÿÿÿÿÿÿÿÿ r˾ËNuværende afstandL0˾Ë4 8€2€°Œ€€ †"€/€‚ÿNuværende afstand trË2ÎU x€?€€‚€€ €€ €€ €‚€ €‚‚€ €€ €€ €‚ÿDenne afstand (som funktion af tiden t eller rødforskydningen z) er den nuværende afstand til den galakse, der udsendte lys på tidspunktet t, det lys, vi ser idag.Dette gælder for negative værdier af t (altså i universtes fortid). For positive værdier af t er der tale om den nuværende afstand til de galakser, der (senere) til tidspunktet t vil modtage lys afsendt fra os lige nu. Alternativt fortolket er det den nuværende afstand til en galakse, der lige nu udsender lys, som vi (senere) vil modtage til tidspunktet t.™q¾ËËÎ( €â€€‚‚€‚ÿDenne afstand bestemmes ved at frem/tilbageskrive galaksens oprindelige afstand ved hjælp af skalafaktoren:62ÎÏ1 2€ €@€ †"€0€‚ÿö»ËÎ; D€y€€ ‚€‚‚‚ƒƒ†"€1‚‚€‚ÿDer er således tale om en hypotetisk afstand: den oprindelige afstand er blot fremskrevet sådan, at galaksen forudsættes at have fulgt rummets almindelige udvidelse - også kaldet Hubbleflowet. Ï0ËVi er ikke idag i stand til at se denne galakse som den ser ud nu. Især ikke, når det gælder den tilbage-skrevne afstand!Enhederne er som for den oprindelige afstand: enten måles den i Hubble-enhedereller også i milliarder lysår (Glyr).DÏG1yÿÿÿÿÿÿÿÿ G•ÝNuværende hastighedN•4 8€6€°Œ€€†"€2€‚ÿNuværende hastighed ‰GŸ Ѐ€€€ €€ €€ €‚‚‚ƒ€ †"€3‚‚€‚‚‚‚ƒ€ †"€4‚‚€‚‚ƒ€ †"€5‚‚€‚‚ƒ†"€6‚ÿDenne størrelse er den nuværende hastighed for den galakse, der på lysudsendelsestidspunktet t havde hastigheden v(t).Denne hastighed er givet vedaltså Hubblekonstanten værdi nu, ganget med afstanden fra »os« nu.Den oprindelige hastighed er givet vedEn sammenligning af de to ligninger viser, atHvis vi hertil benytter den integrerede bevægelsesligning,•·V z€‡€€‚‚‚ƒ†"€7‚‚€ €‚‚€ €€ €€ €‚‚€ €‚‚ÿkan vi relatere de to hastigheder:Disse betragtninger for negative værdier af tiden t (universets fortid).For positive værdier af tiden t giver formlen ovenfor den nuværende hastighed for de galakser, der vil modtage lys fra os til tidspunktet t, hvor dette lys er afsendt netop nu. Altså en tilbageskrevet hastighed.Enheden for denne hastighed er lysets fart i det tomme rum c.For uendelige rum (rumkrumning er 0 eller negativ) er der ingen øvre grænse for en galakses hastighed: den er simpelthen proportionel med afstanden, der er uden grænse i disse tilfælde. Galakser kan således fjerne sig fra os/nærme sig os med overlyshastigheder på (passende store) kosmologiske afstande!&ŸÝ# €€€‚ÿE·"1/ÿÿÿÿÿÿÿÿ "fd Oprindelig afstand sDÝf+ &€2€°Œ€€€‚ÿOprindelig afstand s ¶"q U x€o€€‚€‚‚‚ƒ†"€8‚‚€ €€ €€ €€ €€ €‚ÿDenne størrelse er den oprindelige afstand fra os (iagttageren) til det sted, hvor lyset fra ’moder’-galaksen blev udsendt, og er derfor også denne galakses afstand til os på det tidspunkt, hvor lyset blev udsendt.Afstanden bestemmes af differentialligningenhvor mærket betyder differentiation m.h.t. tiden t, c er lysets fart i vacuum. Størrelsen H(t) er Hubble-konstanten til tidspunktet t, og denne er bestemt vedó˜fd [ „€5€€‚ƒ†"€9‚‚€ €€ €€ €€ €€ €‚‚ƒ†"€:‚ÿhvor R(t) er skalafaktoren til tidspunktet t. Funktionen s(t) vil således være afhængig af alle tre kosmologiske parametre, nemligGq « 1Âÿÿÿÿÿÿÿÿ « ñ ‚Oprindelig hastighed vFd ñ + &€6€°Œ€€€‚ÿOprindelig hastighed vÄ« ÿ J b€‹€€‚€€ €€ €‚‚‚ƒ†"€;‚‚‚€ €‚ÿDenne størrelse er hastigheden på lysudsendelsestidspunktet t for den galakse, der udsendte det lys, vi ser idag. Dette er også rummets udvidelseshastighed på den afstand, hvor galaksen befinder sig til tidspunktet t.Denne hastighed er givet vedaltså Hubblekonstanten til lysudsendelsestidspunktet, ganget med afstanden fra »os« til galaksen på dette tidspunkt.Disse betragtninger for negative værdier af tiden t (universets fortid).ƒ=ñ ‚F Z€{€€‚€ €€ €€ €€ €‚‚€ €‚‚ÿFor positive værdier af tiden t er v(t) hastigheden til tidspunktet t (lysmodtagelsestidspunktet!) for de galakser, der modtager lys fra os, afsendt netop nu. Formlen er den samme som ovenfor.Enheden for denne hastighed er lysets fart i det tomme rum c.For uendelige rum (rumkrumning er 0 eller negativ) er der ingen øvre grænse for en galakses hastighed: den er simpelthen proportionel med afstanden, der er uden grænse i disse tilfælde. Galakser kan således fjerne sig fra os/nærme sig os med overlyshastigheder på (passende store) kosmologiske afstande!?ÿ Á1@ÿÿÿÿÿÿÿÿ Á @FRumlig afstand:‚ @( €$€°Œ€ €‚ÿRumlig afstandÁ @‚ª\Á¶@N l€¼€€‚€ €‚‚ƒƒ€†"€<€€†"€=‚€‚‚ÿAfstanden ds mellem to rum-punkter med nuværende koordinater er givet vedF @ü@; F€€P…€‚„€ƒƒƒ€†"€>€‚ÿ1.k.¶@gA= J€^€€‚€‚‚ƒƒ€†"€?€‚‚‚‚ÿsåfremt rumkrumningen er 0, ogF ü@­A; F€€P…€‚„€ƒƒƒ€†"€@€‚ÿ2.W/gAB( €^€€‚€‚‚ÿhvis rumkrumningen er positiv, og endeligF ­AJB; F€€P…€‚„€ƒƒƒ€†"€A€‚ÿ3.ÒBZD> J€¥€€‚€‚‚€ €€ €‚‚€ €‚ÿhvis rumkrumningen er negativHer er so afstanden fra begyndelsespunktet til det betragtede objekt på tidspunktet t = 0, altså den nuværende afstand til objektet.Det fremgår, at det simpleste tilfælde er det første, hvor rummet er »fladt«, dvs. rumkrumningen er 0, således at den sædvanlige Euklidiske geometri er gældende.Da vi har valgt so som afstandsparameter, vil de geometriske komplikationer naturligvis ligge i vinkeldelen af afstandsformlen.·_JBFX ~€Á€€‚‚ƒƒ€†"€B€‚‚€ €€ €€ €€ €€ €‚‚ÿGalakser i frit fald vil have faste værdier af de 3 rumkoordinater . Ikke desto mindre vil alle afstande - den radiale so såvel som de transversale (vinkelret på synslinien) vil blive ganget med fremskrivningsfaktoren (skalafaktoren) R(t) og således være tidsafhængige. Rummet siges at udvide sig med den lineære faktor R(t). AZDRF1­ÿÿÿÿÿÿÿÿRFžFLSkalafaktor R(t)LFžF4 8€0€°Œ€€€€€€‚ÿSkalafaktor R(t)(ãRFÆGE X€Ç€€‚€€ €€ €‚€ €€ €‚€‚ÿGrafen viser skalafaktoren som funktion af tiden t eller rødforskydningen z.Skalafaktoren R(t) er den faktor, alle kosmologiske afstande på et givet tidspunkt multipliceres med. Er den kosmologiske afstand idag 6žFüG1 2€ €@€ †"€C€‚ÿoAÆGkH. ,€‚€€ ‚€€ ‚€‚ÿer den tilsvarende kosmologiske afstand til tidspunktet t6üG¡H1 2€ €@€ †"€D€‚ÿ&ùkHÇI- (€ó€€ ‚€‚‚€‚ÿSåledes er værdien af skalafaktoren idag 1 som det fremgår af den sidste formel.Skalafaktoren er ifølge det kosmologiske princip og Einsteins almene relativitetsteori i et stofdomineret univers bestemt af den kosmologiske differentialligning6¡HýI1 2€ €@€ †"€E€‚ÿÄÇILY €€€€ ‚€‚‚‚ƒƒ€ †"€F‚‚€‚‚ƒƒ€ †"€G€‚‚€€‚ÿhvor mærket betyder differentiation m.h.t. tiden.Programmet beregner - bl.a. - løsninger til denne differentialligning. Løsningen vil naturligvis afhænge af de to kosmologiske parametreog for tidsskalaens vedkommende af HubblekonstantenProgrammet stopper, hvis skalafaktoren bliver større end 1000, og ellers kun, hvis den numeriske integration ikke kan videreføres, fordi den forlangte integrationsnøjagtighed ikke kan opnås.8ýIRL1àÿÿÿÿÿÿÿÿRL‰L8OTiden t7 L‰L+ &€€°Œ€€€‚ÿTiden tÔRL¨NK d€«€€‚€€ €€ €€ €‚‚‚ƒƒ†"€H‚‚‚‚ÿDenne parameter er den tid, der er forløbet siden det lys, vi modtager idag, blev afsendt fra ’moder’-galaksen. Dette gælder for de negative tider (universtes historie til idag). For positive værdier af t er det den tid, en foton afsendt herfra til tidspunktet 0 (nu) har bevæget sig.Tiden kan måles i enheder af Hubbletideneller i milliarder år (Gyr), afhængigt af dit valg af enheder på 1.aksen. (Se menuen, når du højreklikker på grafens område)]‰L8O3 6€¼€€‚‚ƒƒ†"€I€‚ÿTidsskalaen vil i dette sidste tilfælde være afhængig af værdien af HubblekonstantenF¨N~O1Åÿÿÿÿÿÿÿÿ~O¿O¾…VinkeldiameterafstandA8O¿O( €2€°Œ€€‚ÿVinkeldiameterafstandÛ~Oâ€< F€·€€‚€€€ €€ €‚‚€‚ÿVi¿Oâ€8Onkeludstrækningen af et objekt, der har den rumlige udstrækning Ds i afstanden (nuværende) so kan findes af den rumlige metrik, se denne.I tilfældet, hvor rummets krumning er 0, er denne vinkeludstrækningC ¿O%: D€€Pý~‚€ƒ€ †"€J€‚ÿ1.Øâ€+‚. *€±€€ ‚€‚‚‚€‚ÿDette er identisk med vinkeludstrækningen på tidspunktet for lysets udsendelse, idet nævneren i 1. er afstanden til objektet på dette tidspunkt.I tilfældet med positiv rumkrumning bliver vinkeludstrækningen C %n‚: D€€Pý~‚€ƒ€ †"€K€‚ÿ2.èº+‚Vƒ. *€u€€ ‚€‚‚‚€‚ÿDenne vinkeludstrækning er større end i tilfældet 1 for samme rumlige udstrækning og afstand.Endelig er vinkeludstrækningen i tilfældet, hvor rumkrumningen er negativ givet ved C n‚™ƒ: D€€Pý~‚€ƒ€ †"€L€‚ÿ3.ê˜Vƒƒ„R r€3€€ ‚€€ €‚‚ƒƒ€ †"€M€ƒƒ€€‚‚€‚€‚ÿVinkeldiameterafstanden d er defineret ved relationenDefinition af vinkeldiameterafstand dDerfor bliver i de tre tilfælde ovenforC ™ƒÆ„: D€€Pý~‚€ƒ€ †"€N€‚ÿ1.&ƒ„ì„# €€€‚ÿC Æ„/…: D€€Pý~‚€ƒ€ †"€O€‚ÿ2.&ì„U…# €€€‚ÿC /…˜…: D€€Pý~‚€ƒ€ †"€P€‚ÿ3.&U…¾…# €€€ ‚ÿ= ˜…û…1¡ÿÿÿÿÿÿÿÿû…3†£‰s-max – graf8¾…3†( € €°Œ€€‚ÿs-max - grafgû…šˆI `€?€€‚€‚‚ƒ†"€Q‚‚€ €€ €€ €‚‚ÿDenne graf tegnes kun, når der er tale om et lukket (dvs. endeligt) rum. Dette er tilfældet, når betingelsener opfyldt. I dette tilfælde er der en maksimal afstand s-max til »verdens ende«, dvs. de fjerneste egne af universet. Denne størrelse s-max er tidsafhængig, og s-max - grafen er altså grafen for universets størrelse som funktion af tiden - eller rødforskydningen! Når denne maksimale afstand er nået f.eks. af en foton, vil den selvfølgelig bevæge sig videre - hvilket betyder, at den igen er på vej tilbage til os! À3†£‰I `€ƒ€€€ €€ €€ €€ €‚‚‚ƒ†"€R‚ÿTiden t måles i Hubbletider (1/Ho) eller mia. år (Gyr), afstande i enheden c/Ho eller mia. lysår (Glyr).Denne maksimale afstand findes ved en simpel skalering af skalafaktoren:?šˆâ‰1Ãx€ÿÿÿÿ≊¬Žs_foton - graf8£‰Š& €$€€ €‚ÿs-foton - graf?×â‰Yh ž€³€€‚‚‚ƒƒ†"€S‚‚€ €€ €€ €‚€ €‚‚ƒƒ†"€T‚‚€ €€ €‚ÿDenne graf beregnes som løsningen til bevægelsesligningen1.og beskriver fotoners bevægelse gennem universet. Størrelsen s er fotonens afstand til jorden til tidspunktet t, R er skalafaktoren til samme tidspunkt.Fotonens bevægelse er således sammensat af to led: den lokale hastighed c imod/væk fra os, og rummets udvidelseshastighed, der er givet ved Hubbles lov:I rummets tidlige udvidelsesfaser vil rummets udvidelseshastighed være større end c, og dermed vil fotoner, der - set fra fotonens synspunkt - er på vej mod os, blive »revet« med derudad, altså fjerne sig fra os. Først når rummets udvidelseshastighed på fotonens sted er mindre end c, vil fotonen kunne formindske sin afstand til os.SЬŽ8 >€7€€€ €€ €€ €‚‚‚ÿDe fotoner, der forlader os nu, vil have en hastighed, der er større end c, idet rummets udvidelseshastighed skal lægges til c, ifølge bevægelsesligningen (1). Hvis rummet på et tidspunkt på fotonens sted »falder sammen« hurtigere end c, vil fotonen igen nærne sig til os.1YÝŽ1UÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÝŽ$¬Ž" €€€ÿ1ÝŽÿÿÿÿ1ÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿÿ·® ¼Helv<MAmericanaÿÿóSystemžÿÿ8ISymbol<<MArialŽ}ÿÿóTimes New Romanÿ80202060305040502030020b0604020202020200000000000000000000$$$sj ^Šˆp  „…¦ Ø n 2‡`¹°‚x€-Š‚„`x€`…x€`‚‰2‡‚¦g†2‡nØ‚õ `g†g†`p„g†Ýˆp^Š^Š/&;)S24c184¨ nŸÿÿ*P*ÿÿÿÿ4-dimensional afstandbegyndelsesbetingelserbevægelsesligning egentidEinsteins almene relativitetsteoriekspansionsratefotonafstandfotonbevægelse fotongraf$fotonpositions-parameter(fotonspor,Hubble kosmografen4Hubble-konstant8Hubbleflow<Hubblekonstant@HubblelængdeDHubbletidHkosmologiske konstantLkritiskPkritiske tæthedTlinie-elementXluminositetsafstand\løsningsmetode`massetætheddnuværende afstandhoprindelig afstandloprindelig hastighedpparameteren omegaLtrumkrumningxrumlig afstand|rummets udvidelseshastighed€Runge Kutta metode„Runge-Kuttaˆs-foton - grafŒs-max - grafskalafaktor”SOFIE˜specielle relativitetsteoriœtiden t verdens ende¤vinkeldiameterafstand¨vinkeludstrækning¬ ‹‚lqOÙ:Hubble‚‰Z‡main?mainÀ;HubbleŸ‚Oz0WGä ô ”OŸm##ÊO,‡lGÆŸŸŸ€€¯.1  `À&ÿÿÿÿÀÿÿÿ»ÿÿÿ€ & MathType`û ÿTimes New Roman‡-2 ô12 t0û ÿSymbol-ý2 ô™-û€þTimes New Roman‡-ð2  FH & ÿÿÿÿû¼"System-ð/&;)Lzÿÿæÿÿÿÿ(dR/dt)/R, ekspansionsrateÝForkerte kosmologiske afstandsformler_1x€Fotonbevægelse i en kosmologisk model…Fotonpositions-parameter‚‰Hubble kosmografenHubble: numerisk løsning af kosmologiske modeller‚Linie-element, 4-dimensional afstand¦Luminositetsafstandg†Løsningsmetode2‡Nuværende afstandNuværende hastighednOprindelig afstand sØOprindelig hastighed võ Rumlig afstand„Skalafaktor R(t)ˆTiden t^ŠVinkeldiameterafstandps-max – graf`s_foton - graff h /&;)L4ÿÿ@ÿÿÿÿHØ €`,‡n‰ ‹“šòòœÝ²„¦4f-­‚‰ 2pÍ‚ë^iÛˆ°Ñóõ Y!^þ…¤Z^þ„ˆ¤¡`Lg†Ì#`+x€ÎR^Š/øUpŠ U2‡Ò²W¦§ã^gv°SeØÈÍ·n‚®œåug¢ÖÉ{PTimes New Roman‡…-‡2 ô{ƒ1‡2 ܃0„û ÿ‚ŽSymbol…-…ð‡2 ôƒ-„û€þ‚ŽSymbol…-…ð‡2  ƒ×„û€þƒ—Times New Roman‡…-…ð‡2  ®ƒH‡2  4ƒc †& ÿ…û‚¼"System…-…ðf8fde300000000009001000000020002001053796d626f6c0002040000002d01000004000000f001010008000000320a8103c30601000000280010000000fb02f8fde300000000009001000000020002001053796d626f6c0002040000002d01010004000000f001000008000000320a8103bc0701000000290009000000fa02000001000000000000002200040000002d0100000500000014020002a80505000000130200022c0815000000fb0280fe0000000000009001010000000402001054696d6573204e657720526f6d616e000087040000002d01020004000000f001010008000000320a83032c0701000000740008000000320aC:\WINDOWS\TEMP\~hc107000!02f6C:\WINDOWS\TEMP\~hc1072ë6002ec0201000000730008000000320a6002400001000000730015000000fb0280fe0000000000009001000000000402001054696d6573204e657720526f6d616e000087040000002d01010004000000f001020008000000320a77018a0601000000310015000000fb0220ff000000000000900100 0402C:\WINDOWS\TEMP\~hc1070526f6d616e000087040000002d01020004000000f001010008000000320ac002d10001000000300010000000fb0280fe0000000000009001000000020002001053796d626f6c0002040000002d01010004000000f001020008000000320a6002120501000000d70008000000320a6002ba0101000000 0000Ú ÚÚ­­­­­­­­ÚÚÚÚÚÚÚÚ­­­­­­­­ÚÚÚÚÚÚÚÚ ˆ€1ÿÿÿÿ|bm0|bm1ª|bm10Ï |bm11%|bm12,|bm1330|bm14Á3|bm15q7|bm16P;|bm173=|bm18@|bm19•B|bm2m |bm20ÑF|bm21I|bm22BL|bm23ÇQ|bm24PV|bm25Y|bm26[|bm27§]|bm28a|bm29zb|bm3- |bm30Ýc|bm31Æe|bm32i|bm33½k|bm34Po|bm359u|bm36«x|bm373€|bm38Wˆ|bm39íŠ|bm4é|bm40ï|bm41Ç’|bm42+˜|bm43p›|bm44ž