Om boksplot og forskellige definitioner af kvartilsæt

10/3-2006

Matematik-niveauerne er beskrevet gennem: Læreplan, vejledning og vejledende eksamensopgaver. Læreplanerne er så korte og kompakte, at ingen lærer kan nøjes med disse. Vejledningerne er til gengæld så store, at man nok først sætter sig rigtig ind i det, når man tager fat på et givet niveau. Så er det til gengæld også nødvendigt. Man kan ikke – og har heller aldrig før kunnet – forlade sig på, at en given lærebog er fuldt dækkende for det pågældende niveau. Der er heldigvis udkommet rigtig mange gode nye lærebøger, som er en stor hjælp for den daglige undervisning. Men det bliver aldrig lærebogens ansvar, at målene nås og elever og kursister forberedes til eksamen.

I efteråret udsendte vi de vejledende eksamensopgaver. For nylig har vi udsendt yderligere opgaver i de nye opgavehæfter til hf C og hf B. Der vil om ikke så længe udkomme tilsvarende opgavehæfter til stx B og stx A. Disse vejledende eksamensopgaver rummer i sagens natur er ikke en udtømmende beskrivelse af niveauerne - hvad skulle vi så fald med læreplan og vejledning? Men sammen med vejledningen skulle det give lærerne klare pejlemærker for hvordan kernestoffet omsættes til skriftligt eksamensstof, for hvordan eksamensopgaverne bliver formuleret, og for hvordan et samlet eksamenssæt kunne se ud.

På nogle møder har der været rejst spørgsmål vedr. den statistiske beskrivelse af ikke-grupperede observationer. I vejledningen er introduceret værktøjet boksplot og der er dér angivet eksempler på opgavetyper, hvor der spørges til eller anvendes boksplot. I de vejledende eksamensopgaver er der stillet opgaver med brug af boksplot, for at understrege, at dette begreb og værktøj skal eleverne kunne anvende. Men boksplot rummer jo kvartilsættet og hvad er definitionen herpå? Man skulle tro det var et simpelt spørgsmål at besvare. Men det er det ikke.

Der findes ikke én internationalt anerkendt definition på kvartilsæt. Alligevel bruger man det alle steder. Danmark er et af de ret få lande i verden, der har defineret kvartiler som fraktiler. Det er der en lang tradition for, og selv om den er uhensigtsmæssig har den slået igennem så mange steder, at den ikke sådan er til at udrydde. Specielt når man ikke har fælles konventioner. Internationalt er det tydeligt at tendensen går i retning af den visuelt indlysende definition: medianen er den midterste observation når der et ulige antal og ellers er det midtpunktet mellem de to midterste. De to kvartiler er medianer for hver sin halvdel. Denne definition er feks også lagt ind på en række lommeregnere.

Vi besluttede i læreplansgruppen, at vi ikke ville tvinge denne definition igennem, men acceptere begge. Det kan kræve at censorer må se en ekstra gang på argumentationen, og det understreger, at eleverne / kursisterne skal argumentere for, hvad de gør: Jeg finder medianen som den midterste … Eller: Jeg finder medianen som 50%-fraktilen (dvs. det mindste tal, hvorom der gælder at 50% af observationerne er mindre end eller lig dette – jeg tror de fleste kan høre hvor uforståelig denne definition må være for en hf-elev). Uanset denne definition er ret kompliceret, har vi en lang lærer- og lærebogstradition for at bruge denne, og det kan heller ikke udelukkes, at bestemte lærere og gode lærebøger kan gøre dette håndterligt.

For at eksemplificere: I det første sæt vejledende opgaver til hf C-niveau optræder boksplot i opga-ve 6. Jeg vil undervise mine elever således, at de ville svare:
Medianen er den observation, der deler materialet i to lige store dele, så det er 8,15.
Første kvartil er den observation der deler observationerne til venstre for 8,15 i to lige store dele, altså er det 7,95
På samme måde er tredje kvartil den observation der deler materialet til højre i to lige store dele, altså er det 8,75.

I dette tilfælde vil svaret fra den elev der har lært om fraktiler være det samme. For dem vil svaret lyde: Kvartilsættet aflæses som 25%, 50% og 75% fraktilerne til at være henh. 7.95, 8.15 og 8.75.

Havde vi stillet en opgave, hvor de ugrupperede observationer var tallene {1,2,3,4,5,6,7,8}, så ville mine elever være undervist til at svare:
Medianen er den observation, der deler materialet i to lige store dele, så det er 4,5.
Første kvartil er den observation der deler observationerne til venstre for 4,5 i to lige store dele, altså er det 2,5.
På samme måde er tredje kvartil den observation der deler materialet til højre i to lige store dele, altså er det 6,5.
Men som censor ville jeg give fuldt point for en besvarelse, hvor en elev skrev: Kvartilsættet aflæ-ses som 25%, 50% og 75% fraktilerne til at være henh. 2, 4 og 6.


Med venlig hilsen
Bjørn Grøn
fagkonsulent