AT-2016 Matematik

Her finder du inspiration til AT-2016 med matematik. Denne side er ikke en del af ministeriets officielle ressourcerum.

Grænser for vækst

Ifølge Malthus’ lov vil befolkningstallet vokse eksponentielt, mens mængden af resurser  som mad vokset lineært. Dermed er der en grænse for, hvor stor en population kan blive. Gyldigheden af Malthus’ lov kan undersøges med udgangspunkt i nyere data og en passende modellering. Undersøgelsen kan give inspiration til alternative teorier.

Et nyttigt værktøj kunne være Gapminder, der er beskrevet i modulet:

http://www.emu.dk/modul/gapminder-0

Resurser er ikke det eneste problem for befolkningsvækst. Et andet problem er miljøbelastningen. Det er beskrevet i en rapport fra 1972, hvis danske titel er Grænser for vækst. Den er omtalt på:

http://videnskab.dk/blog/kun-de-skore-og-okonomerne-tror-pa-graenselos-vaekst

Skærmdump af Gapminde
© Torben Svendsen

Gapminder i aktion

Den sunde grænse

Vi er udsat for en række usunde miljøpåvirkninger som støj, radioaktivitet, udstødningsgasser og tilsætningsstoffer. En opgave kan handle om, hvordan man fastlægger grænser for disse påvirkninger. Regression og Chi2-test er nogle af de værktøjer man kan bruge.

Grænser for sygdom

Udbredelsen er af en epidemi kan begrænses ved at de syge isoleres. Det kan modelleres med SIR-modeller:

http://www.emu.dk/modul/sir-modeller

En mulighed er at inddrage historiske data fra pestepidemien i  København.

Grænser for populationer

Grænser for dyrebestande

Populationsvækst er et klassisk emne i matematik. Her kan man fx komme ind på logistisk vækst eller Lotka-Volterra modellen, der beskriver, hvordan rovdyr og byttedyr sætter grænser for hinandens vækst. En omtale af modellen kan findes via linket:

http://www.math.ku.dk/formidling/studieretningsprojekter/filer/Mat_bio/Lotka_volterra/Lotka_volterra.pdf

Grafer for en SIR-model
© Torben Svendsen

Simulation af en SIR-model

Rummets begrænsninger

Fra vores dagligdag er vi så vandt til 3 dimensioner, at det kan være svært at forestille sig andet. Det gælder selvfølgelig ikke  for matematikere, der kan  bryde hverdagsforestillingernes begrænsninger og forestille sig andre ting. Det kan være:

  • Flere dimensioner end 3
  • Dimensioner der ikke er naturlige tal
  • Rum baseret på kke-euklidisk geometri.

Inspiration kan findes på:

http://www.emu.dk/modul/flatland

http://www.matematiksider.dk/fraktal/fractal.pdf

http://www.emu.dk/modul/ikke-euklidisk-geometri

Grænser for viden

I 1931 offentliggjorde den tyske matematiker Kurt Gödel sine to ufuldstændighedssætninger, der fortæller, at der en fundamental grænse for den matematiske erkendelse. Fx vil der løst sagt i et hvert fornuftigt matematisk system være sande sætninger, der ikke kan bevises.

Det var også i 30’erne Bohr og Einstein intenst diskuterede det erkendelsesteoretiske grundlag for kvantefysikken. Kvantefysikken er en meget succesfuld matematisk formalisme, men den indeholder også en grænse for erkendelse, defineret af Heisenbergs ubestemmelighedsrelationer.

Grænseløs matematik

Når bryder grænsen ud til det uendelige støder man ting, der kan virke paradoksale. Eksempler kan være Galileos paradoks, Zenons paradoks og Hilberts hotel, der er beskrevet på siderne

https://en.wikipedia.org/wiki/Galileo's_paradox

https://da.wikipedia.org/wiki/Zenons_paradoks

https://da.wikipedia.org/wiki/Hilberts_hotel

Nogle forfattere som Jorge Luis Borges og Svend Åge Madsen leger med uendeligheden i noget af deres litteratur, så et sprogfag indgå som det andet fag.

Den kaotiske grænse

Et kaossystem er kendetegnet ved, at dets udvikling er meget følsomt overfor begyndelsesbetingelserne. De kan ikke bestemmes vilkårligt præcis, og derfor kan man ikke i praksis forudse udviklingen af et kaotisk, hvilket sætter en grænse for vores erkendelse.

Emnet kan fx kombineres med historie og kontrafaktisk historieskrivning.

Normalitetens grænser

Som et kendt citat siger, er at lykken er at være normal og vide, at det normale har vide grænser. Grænsens for det normale kan behandles med udgangspunkt i romanen The curious incident of the dog in the night-time:

http://www.emu.dk/modul/curious-incident-dog-night-time

Statistik kan være en anden tilgang til emnet. Normalfordeling of chi2-test er værktøjer til at måle afvigelser fra det normale.

Skaleringens grænser

Galileo påviste i sit værk To nye videnskaber, at pattedyr ikke kan blive vilkårligt store, fordi massen af kroppen vokser hurtigere end bæreevnen. Padder får vand ind gennem overfladen, og behovet for vand er proportionalt med kroppens størrelse. Da kroppens størrelse vokser hurtigere end overfladearealet er der størrelse for, hvor store padder kan bliver. Noget tilsvarende gør sig gældende for insekter, der får ilt ind gennem kanaler i overfladen.

Det er ikke kun i biologi, at der er grænser for skalering. Se fx

https://en.wikipedia.org/wiki/Square-cube_law

Produceret i samarbejde med

Centre for Undervisningsmidler

Centre for Undervisningsmidler har ansat 30 fagredaktører med solidt kendskab til pædagogik og undervisning til at udvikle fagsiderne til de gymnasiale uddannelser på EMU (STX/HF). Fagsiderne udvikles og vedligeholdes i samarbejde med de faglige foreninger og Undervisningsministeriet.

Se mere om samarbejdet her.

CFU findes også på EMUen. Siderne vedligeholdes af CFU selv - se her. Her kan skolerne søge information om landsdækkende aktiviteter, ligesom man kan finde CFU-centrenes lokale websites.

cfu-v1.png

Emneord