Eksempler på innovation

Her er nogle eksempler på hvordan man kan arbejde med den innovative kompetence i matematik. De kan fx bruges som introduktion til et forløb om innovation eller danne udgangspunkt for en portfolio-opgave om innovation.

Modifikation

Nye ideer kan opstå ved at kendte teorier modificeres. Et eksempel, der kan bruges tidligt i undervisningen, er overgangen fra lineær vækst til eksponentiel vækst. Lineær vækst er kendetegnet ved, at der til lige store tilvækster i den uafhængige variabel, svarer lige store tilvæskster i den afhængige variabel. Denne sammenhæng kan beskrives som

  • (plus , plus) – vækst

Det kan modificeres til

  • (plus , gange) – vækst

hvorved eksponentiel vækst fremkommer. Den nye vækstform kan så undersøges både eksperimentelt og teoretisk.

Sergels Torg

Figur 1. Sergels Torg.

Piet Heins superellipse er et smukt eksempel på innovation ved modifikation.

Piet Hein fik til opgave at designe Sergels Torg i Stockholm. Hverken en rektangulær eller en cirkelformet plads var en mulighed på grund af den omkringkørende trafik. En ellipse plads kunne være et kompromis mellem rektanglet og cirklen, men ellipsen var for spids. Dette problem løste Piet Hein ved at ændre ellipsens ligning.

Den traditionelle  ellipse  består af punkter (x , y), der opfylder ligningen

$ \left ( \frac{x}{a} \right )^2+\left ( \frac{y}{b} \right )^2=1$

hvor a og b er positive konstanter. Den erstattede Piet Hein med 

$\left | \frac{x}{a} \right |^\frac{5}{2}+\left | \frac{y}{b} \right |^\frac{5}{2}=1$

Ligningen beskriver en figur, der kaldes en superellipse, og det var den form, Piet Hein brugte til pladsen.

Der er mere om superellipsen på:

Matematiksider.dk om superellipsen

Praktisk

Praktiske problemer kan være anledningen til at nye matematiske ideer kommer til verden. Et eksempel herpå er Bezier-kurver. De blev opfundet af den franske ingeniør Pierre Bézier, der var ansat på Renault, hvor han skulle bruge kurvene til designformål. I dag er kurverne meget udbredt og mange tegneprogrammer kan håndtere Bezier-kurver.

En definition af Bezier-kurverne kan findes på:

Wikipedia om Bezier-kurver

Geogebra kan bruges til eksperimenter med Bezier-kurver:

Geogebra-eksperiment med Bezierkurver

YouTube har en film, der viser hvordan man kan lave Bezier-kurver:

Konstruktion af Bezier-kurver

Opgør

Store ideer i matematik kan opstå, når der gøres op med traditionelle forstillinger, når man stiller spørgsmål af typen "behøves det være sådan?"

Det kan illustreres med ikke-euklidisk geometri, der gør op med de klassiske forestillinger i euklidisk geometri. Figur 3 viser et klassisk resultat i euklidisk geometri. Der er givet et linje og et punkt, der begge er vist med rødt. Der er præcis én linje, der går gennem det givne punkt og er parallel med den givne linje og derfor uden skæring med denne. Alle andre linjer gennem punktet er ikke parallelle med den givne linje og skærer den i netop ét punkt.

Ikke-euklidisk viser, at sådan behøves det ikke at være. Fx kan lave geometrier, hvor der mange linjer gennem punktet, der ikke skærer den givne linje.

Det er tilfældet med Poincaré-disken, som er er beskrevet her:

Wikipedia om Poincaré-disken

Der er en applikation til Geogebra, hvor man kan arbejde med Poincaré-disken. Fiuren til højre er lavet med denne applikation:

Geogebra-applikation

Tilfældighed

I naturvidenskab kan det ske at opdagelser gøres ved en tilfældighed, eller mere præcist formuleret: som et utilsigtet men et  anvendeligt resultat af et forskningsprojekt. Eksempler er penicillin, antabus og kernespaltning. Det er dog sjældent at noget tilsvarende sker i matematik. Der findes dog et enkelt eksempel, nemlig Lorenz’ opdagelse af sit nu berømte kaossystem. Det er beskrevet på:

Lorenz’ opdagelse

Lorenz’ system er matematisk set ret avanceret, så hvis man vil gå i detaljer med kaosteorien er Feigenbaums diagram et godt alternativ:

Wikipedia om Feigenbaums diagram 

Produceret i samarbejde med

Centre for Undervisningsmidler

Centre for Undervisningsmidler har ansat 30 fagredaktører med solidt kendskab til pædagogik og undervisning til at udvikle fagsiderne til de gymnasiale uddannelser på EMU (STX/HF). Fagsiderne udvikles og vedligeholdes i samarbejde med de faglige foreninger og Undervisningsministeriet.

Se mere om samarbejdet her.

CFU findes også på EMUen. Siderne vedligeholdes af CFU selv - se her. Her kan skolerne søge information om landsdækkende aktiviteter, ligesom man kan finde CFU-centrenes lokale websites.

cfu-v1.png

Relaterede moduler

Emneord