Musik og matematik - tværfagligt samarbejde

Samarbejdsmuligheder mellem matematik og musik

Matematik og musik kan samarbejde på mange forskellige niveauer. Toneskalaer kræver kun kendskab til brølregning, mens andre emner som Fourieranalyse forudsætter avanceret matematik. Der er imidlertid en række faglige traditioner i gymnasiet, der altid vil gøre det svært at lave en rigtig god og sammenhængende problemstilling, der skal bearbejdes. Ofte bliver løsningen at man indenfor en overordnet ramme behandler et emne set fra en musik-vinkel og en matematik-vinkel, men at disse to besvarelser ikke lapper meget ind over hinanden.  I centrale dele af opgaven, mens matematikken typisk vil tage fat på konkrete modeller for stemning eller instrumentudformning, der ikke i samme grad er knyttet til et bestemt nummer eller en bestemt stil. Der kan også være tale om at komponister inspireres af abstrakte matematiske systemer, uden at denne inspiration på nogen måder går den anden vej.

Nedenfor er angivet nogle temaer, nogle ideer til samlende problemstillinger og nogle retninger indenfor henholdsvis musik og matematik.

  • Dansk Matematisk Forenings blad Matilde har i nr. 28 fra september 2006 et tema om matematik og musik.

Begge links findes i spalten i højre side.

Redktøren modtager meget gerne supplerende materialer, forslag og links.

Synthesizeren

Synthesizeren

Et hovedfokus på synthesizeren kan være at se på instrumentet og samtidig se på hvordan dette nye instrument samtidig er med til at udvikle nye tendenser i musikken. Stikord til denne opgave, og til de underspørgsmål man kan stille kan være

  • En karakteristik af henholdsvis akustiske, elektro-akkustiske og elektroniske instrumenter
  • Særlig fokus på syntheziseren og på additiv og substruktiv synthese
  • I additiv synthese (hvor klangen bygges op ved at regulere overtonerne) kan man ved hjælp af fourieranalyse regne på de elektroniske grundtyper: squaretone, sawtone og triangletone. Det er der pæn og solid matematik i.
  • I musik skal man så se på numre hvor syth’ens funktion ændres. Det kan være se på et nummer, hvor synthen bruges som erstatning for et akustisk instrument, og musikkens form og karakter bevares, og sammenligne med musik, som f.eks techno,, hvor strukturen i musikken og vægtningen af de musikalske parametre er ændret. Det kan være musik hvor gentagelse af små stumper gør fokus flytter fra harmonik og storform mod rytme og klangfarve.

Hvilke numre?.

Dennis Mikkelsen foreslår: Ideer til musik kunne være Depeche Mode, som i 80’erne lykkes med at kombinere rock-æstetik med synthesizeren. Særligt albummerne ”Music for the masses” og ”Violator”, hvor de bliver voksne. De kendte numre er ”Personal Jesus”, ”Enjoy the silence”. Hvis det er efterligning af i forvejen kendte instrumenter, så er andre bud Thompson Twins ”Hold me now”, Howard Jones ”New song”, Human League ”Keep feelin’ fascination”, ABC ”The look of love” og ”Poison Arrow”, Heaven 17 ”Crushed by the wheels of industry”, New Order ”Blue Monday” (som jo i forvejen også er et interessant bud i skiftet fra Joy Division til New Order), OMD: ”Joan of Arc”, - disse bud er alle noget, der ikke kun lyder som synth-musik, men har reminiscenser af ”traditionel” musik – der er masser af det fra 80’erne."

Det kan så sammenlignes med mere fremadpegende numre: 

"New Order peger faktisk en lille smule fremad her, men udover Depeche Mode, som jeg nævnte, så må andre interessante grupper – og numre – være:

Historisk interessante numre: Lil’ louis – ”French kiss”    Jean Michel Jarre – ”Oxygene”    Giorgio Moroder og Donna Summer – ”I feel love”   Men ellers er der:

  • Animotion – ”propaganda”, ”Obsession”
  • Freeez – ”IOU”
  • Yazoo – ”Goodbye 70s”, ”Only You”, ”Situation”, ”Nobody’s diary”,
  • Erasure (fortsættelsen af Yazoo!) – “l’amour”,

Materiale:

"Rebel & Remix"

Inspirationspapir fra KU

Henrik Marstall og Henriette Moos: Filtreringer, Høst & Søn, 2001. (udsolgt!)
Bogen giver en grundig gennemgang af den elektroniske musik fra ca. 1900 og frem, og kan åbne for en lang række vinkler og problemstillinger. Omtale af bog og supplerende materiale.

Klaverstemning

Hovedfokus på dette emne er, hvilken betydning indførelsen af de tempererede stemninger har.

Det kunne lægge op til en del underproblemer

  • En grundlæggende beskrivelse af de matematiske konflikter, der indbygget i de perfekte intervaller. Vi kan ikke stemme et klaver så tangenterne bliver rene indbyrdes alle sammen.
  • En musikhistorisk præsentation af hvordan man til forskellige tider har valgt at stemme tasteinstrumenter.
  • En konkret påvisning af, at et bestemt stykke ikke kunne være spillet i en renaissance-stemning men godt i en tempereret stemning.

Helt grundlæggende så vil man i renaissance-stemningerne oftest holde sig i tonearter med op til to faste fortegn. Derfor kan man fx ved at tage et klaverstykke af J.S.Bach i G#dur eller C#dur påvise, at dette stykke ville lyde rigtig dårligt i en renæssancestemning. I musiksammenhæng vil man nok ofte foretrække at ledsage dette af spørgsmål omkring form, harmonik og stil generelt, men strengt taget er det ikke nødvendigt, hvis man vil påvise hvordan værket kun kan tænkes i en tempereret sammenhæng. Dette spørgsmål kan besvares bare ved at analysere på 3-4 udvalgte akkorder.

Hvor mange tonearter kan Mikael Prætorius komponere i? Hvor begrænsende er renaissance-stemningerne. Her er er et eksempel på en praktisk tilgang til at arbejde med musikken og de ikke-tempererede stemninger.

Matematisk set er dette ikke så "tungt" stof. Ideen er snarere at bruge matematikken til at overskue en forholdsvis kompleks problemstilling. Man kan godt bruge det på A-niveau, men nogen matematiklærere vil måske savne egentlige bevistunge problemstillinger.

Denne tilgang lægger sig tæt op ad bogen ”Tal og Tangenter” (af Gert Uttenthal Jensen - udgivet af Metematiklærerforeningen).

Stemninger og skalaer af Thomas Meesenburg. Her demonstreres også hvordan emnet kan kombineres med kædebrøker (se også overskriften nedenfor), hvis mere tynge i matematikdelen ønskes. 

Tore Skogbergs hjemmeside om Stemninger

Der er et glimrende afsnit i Musikipedia om Stemninger

En anden tingang, der er meget mere værknær er den som Jens Ulrik Lefmann lægger op til i sit spændende papir "Den gode stemning". Her går han ind og prøver at påvise træk i enkelte numre, der viser hvorfor dette nummer passer særlig godt i en klassisk tempereret stemning - bedre end den ligesvævende stemning. Det er imidlertid en øvelse der stiller store krav til både elev og vejleder, så det er vigtigt sætte sig grundigt ind i det inden man giver det til eleverne. 

Naturtrompeten

Naturtrompeten (trompeten uden ventiler) bruges til og med Wienerklassikken. Ventiltrompeten udvikles først omkring 1815-1830. Hvilke begrænsninger giver det for instrumentet? Hvad kan man spille for toner? Hvilken betydning har det at kunne intonere? Hvad betyder det for anvendeligheden sammenlignet med fx obo'en? Hvad er den grundlæggende fysiske forskel på en obo og en trompet?

Diskuter ligesvævende/tempereret stemning overfor naturtrompeten. Umiddelbart er det kun i forbindelse med tasteinstrumenter med fast stemning, at en skelnen mellem ligesvævende og ren stemning (i en eller anden forstand) giver mening. For instrumenter, der har mulighed for at intonere ligger stemningen både i instrumentet og hos musikeren. Men for et instrument som naturtrompeten kan man godt argumentere for at dette instrument bygger på en ren stemning (naturtoner).

Analyser musik af Mozart/Bach/ Haydn. Forklar hvordan det afspejler sig i musikken, at det er skrevet til naturtrompet. Hvordan ændredes instrumentets rolle efter ventiltrompeten blev udbredt i starten af 1800-tallet.

Ud fra en matematik-vinkel er der ikke så meget svært stof i dette spørgsmål umiddelbart. Det ligger dermed oplagt til matematik B, men kan selvfølgelig godt udbygges. 

Talfølger, det gyldne snit og musik

Et meget brugt emne. Fibonacci-tal, Per Nørgaard. Der er meget stof indenfor hvert fag og ingen problemer med at stille en opgave der kan rettes og give et pænt resultat. Det svære er at finde at finde en formulering hvor de to fag interesserer sig for hinanden.

Binet's formel er tankevækkende matematik, men helt perspektivløs for musikeren. Musiklæreren tror det er en stavefejl ... at der skulle ha stået Bizet's formel.

Det helt interessante spørgsmål: "Hvad får fx Nørgaard til at vælge en sådan "spændetrøje"?" og "Er det Fibonacci der har overtaget kontrollen med musikken, eller er det bare lidt smart iscenesættelse?" ... eller formuleret på en lidt anden måde: "Hvorfor vælger komponisten at lave "system-musik" og hvilken effekt får det?".

Disse spørgsmål er ofte svære for eleverne at svar

Det gyldne snit og Mozart

I en artikel I Mathematics Magazine i oktober 1995 af John F. Pultz argumenteres for at de satser i Mozarts klaversonater, der er lavet i sonateform er delt i det gyldne snit.

 

http://www.americanscientist.org/issues/pub/did-mozart-use-the-golden-section

http://www.cdlmadrid.org/cdl/htdocs/universidaddeotono/unioto/matematicas/mozart.pdf

Man kunne vælge at lade dette være hovedfokus: En gennemgang og en diskussion i om dette overhovedet er videnskab.

 

De matematiske vinkler man kan spørge til er dels det gyldne snit og evt proportionalregression, hvis man har lyst til det. Der er mange udmærkede tekniske spørgsmål til.

 

Man kan altid spørge om analysen af en eller anden Mozart klaver-koncert og det eneste der i vinklen med det gyldne snt er interessant er forholdet mellem eksposition, gennemføringsdel og reprise.

 

Men spørgsmålet er hvad eleven skal have ud af det. Det ligger lige til højrebenet at konkludere noget ”universelt” omkring smukke proportioner, men det er desværre forkert. Det viser sig at det ”evigtgyldige” kun gælder for netop klaversonaten (sammenlign fx med forskellige symfonier) og desværre også kun for Mozart. Det ville være mere relevant at påstå at gennemføringsdelen over en meget lang periode udgør en større og større del af hele satsen (formodentlig fordi interessen flytter sig fra at præsentere to ideer til at opløse og bearbejde dem), og at der proportionerne tilfældigvis nærmer sig det gyldne snit hos Mozart … for klaversonaten. Dermed er der skruet lidt ned for det evigtgyldige. Dermed er det diskussionen hvad man overhovedet kan lave videnskab på. Det er en svær diskussion for eleven. 

Et papir om det gyldne snit og musik fra KU

Kædebrøker og den tilnærmede kvint

Et emne som bl.a. bladet Mathilde (se højre spalte) har inspireret til er at se på kædebrøker. Det er et sjovt matematisk emne, der kan skrives ind i forkellige opgaver men i sig selv er det meget specielt.

Ideen er så at sige: Vi laver et klaver, der bare har en oktav. Vi deler oktaven op i et eller andet antal tangenter, og tonerne ligger med samme afstand. Den perfekte kvint vil ligge 7 halvtoner oppe, hvis vi deler oktaven op i 12 lige store intervaller. Det er den ligesvævende stemning. Denne ligesvævende kvint har en fejl på 2 cent eller på 2/100 af en halvtone. Men ville fejlen blive mindre hvis vi inddelte i 15-tangenter/toner pr oktav eller i 17? Det viser sig at vi skal op på 41 tangenter indenfor hver oktav for at få en bedre kvint. 

Set fra en matematikvinkel er spørgsmålet at bestemme den bedste rationelle tilnærmelse af tallet log2(3/2). Det kan man godt spinde nogle ender over. 

I denne tilgang er der masser af matematik, men det er bare lidt svært at se hvad man skal bruge det til i en konkret musikalsk sammenhæng, og der er heller ikke rigtig nogle værker.

Tolvtonemusik og matematik

Det er i sig selv en opgave at beskrive permutationer i en form der direkte kan anvendes på materialet for 12-tonemusik: hvordan arrangerer vi tolv toner i forskellige rækkefølger. Så en del af opgaven bliver at beskrive og indføre 8tilpasse) en notation. Et særligt krav til notationen vil være at man ved seriel musik (12-tonemusik) også er interesseret i hvor de forskellige toner anbringes. Det kan man gøre ved ikke kun at se på permutationer af tallene T={1,2,3,...,11,12} men også indrage "oktaver" over og under så tallet 12 fx kan erstattes af tallet 0 og tallet 3 kan erstattes af 15. 
Når vi har beskrivelser af permutationer kan man se på sammensætning af permutationer, n-cykler mm.
Hvordan beskrives OMVENDING (vi starter med den første tone men alle springene mellem de næste toner ændrer fortegn) og KREBS (vi tager rækkefølgen baglæns) matematisk. Det er ikke så let.

Et meget spændende spørgsmål er om det er interessant. Har den matematiske beskrivelse overhovedet nogen interesse. I sig selv er det nok begrænset. Men har den matematiske tankegang nogen relevans?. Her er der to grene af diskussionen: Hvilke parametre har komponisten stadig selv "herredømme over"? Hvorfor vælger komponisten at afgive en del af "magten over musikken" til et system? Hvorfor?

Ud fra er bredere filosofisk synsvinkel kan man se på ekspressionismen mere bredt. Hvilke forestillinger er der om verden, kunsten, kunstneren ... og hvordan kommer de til udtryk i kunsten? Se vi eksempler på det i 12-tonemusikken?

"Mathilde" - artikel om mtematik og 12-tonemusik

Oplæg fra KU - om 12-tonemusik ... spændende

Musik fx: Anton Webern Strygekvartet op 28 1. sats 

Relaterede filer

Hvor begrænsende er renaissance-stemningerne. Her er er et eksempel på en praktisk tilgang til at arbejde med musikken og de ikke-tempererede stemninger.

Relaterede links

Matildes temanummer om matematik og musik. Der er 4 artikler og 2 mp3-filer med musikeksempler, der kan downloades.
Gert Uttenthal Jensens hjemmeside med en samling af de mest brugte emner i samarbejdet mellem musik og matematik. Det er stort set det samme som der står på denne side