Ræsonnement. Punkt i en ligesidet trekant

Gennem en undersøgelse af længderne af de tre vinkelrette linjestykker fra et tilfældigt punkt til siderne i en ligebenet trekant. Undersøgelsen skal give grundlag for at bevise Vincenzo Vivianis læresætning.
Vivianis sætning
© Troels Gannerup Christensen

Forslag til læringsmål

Eleverne kan tegne en ligesidet trekant med et vilkårligt punkt indeni, samt tegne de tre vinkelrette linjestykker i GeoGebra.

Eleverne kan måle linjestykkerne og finde deres sum.

Eleverne kan tegne og måle en højde i trekanten.

Eleverne kan opdele trekanten i tre trekanter ud fra det vilkårlige punkt.

Eleverne kan gennemføre et bevis for Vivianis læresætning.

Valg af undervisningsaktivitet

Aktiviteten giver eleverne mulighed for at arbejde undersøgende i et dynamisk geometriprogram og dermed få et grundlag for et ræsonnement for Vincenzo Vivianis læresætning: Summen af længderne af de tre vinkelrette linjer fra et tilfældigt punkt i en ligebenet trekant og ud til de tre sider er den samme som længden af højden i trekanten.

Beskrivelse af undervisningsaktiviteten

Eleverne tegner en ligesidet trekant i Geogebra som vist ovenfor. På tegningen eller i det algebraiske vindue skal eleverne beregne summen af længderne af de tre vinkelrette linjestykker.

Find den størst mulige og den mindst mulige sum af de tre længder.

Udfordring til nogle elever: Gennemfør samme undersøgelse i andre typer trekanter og polygoner.

Tegn og mål en højde i trekanten og sammenlign med summen af de tre linjestykker med højdens længde. Hvad sker der, når du flytter rundt på punktet?

Formulering af Vivianis sætning i klassen.

Eleverne arbejder i grupper med et bevis. Dette kan være svært for nogle, og derfor kan det være nyttigt med nogle hints:

Hvad kan man bruge højden i trekanten til? (arealberegning)

Kan du se andre linjestykker, der kunne være højder i trekanter?

Del trekanten op i tre nye trekanter ud fra punktet i trekanten.

Kan du beregne nogle arealer, der vil bevise Vivianis læresætning.

Tegn på læring

Eleven kan tegne en ligebenet trekant i GeoGebra og bruge forskellige værktøjer i programmet til at fremstille det tilfældige punkt og de tre vinkelrette linjestykker.

Eleven kan foretage længdemålinger og sumberegning i GeoGebra.

Eleven kan med hjælp i form af hints gennemføre et bevis på Vivianis læresætning.

Eksempler på evaluering

Som evaluering kan bruges et eksempel på oplæg til den mundtlige prøve om dragefirkanter, som kan findes under relaterede links.

Man kan også lade eleverne lave en skærmoptagelse, hvor de forklarer enten læresætningen og/eller beviset.

Materiale til undersøgelse:

Forslag til gennemgang:

  1. Undersøg summen af de 3 linjer fra trekanten og ind til punktet D.
  2. Undersøg højden h i trekanten og summen af de 3 linjer ved at trække i punktet B.
  3. Lav din egen konstruktion af læresætningen.
  4. Undersøg arealet i og højderne af de 3 "indre trekanter".
  5. Undersøg arealet af den store trekant.
  6. Lav et bevis for Vivianis læresætning. Fx. vha. skærmoptagelse.

Forenklede Fælles Mål

Matematik
7. - 9. klasse
Matematiske kompetencer (obligatorisk)
Ræsonnement og tankegang (obligatorisk område)
Fase 3
Eleven kan udvikle og vurdere matematiske ræsonnementer, herunder med inddragelse af digitale værktøjer (vejledende mål)
Eleven har viden om enkle matematiske beviser (vejledende mål)
Geometri og måling (obligatorisk )
Geometriske egenskaber og sammenhænge (obligatorisk område)
Fase 2
Eleven kan undersøge egenskaber ved linjer knyttet til polygoner og cirkler, herunder med digitale værktøjer (vejledende mål)
Eleven har viden om linjer knyttet til polygoner og cirkler (vejledende mål)

Relaterede links

Her finder du en genvej til de mundtlige prøveoplæg på uvm.dk.
Et bevis for Vincenzo Vivianis læresætning på dansk. Lavet vha. Geogebra.
Materiale til at undersøge Vincenzo Vivianis læresætning. Lavet i Geogebra.
Her kan man læse lidt om Vincenzo Viviani på engelsk og også finde et bevis for læresætningen/teoremet.