Sandsynlighed i skolen

Ved at anvende simuleringsprogrammer i forbindelse med chanceeksperimenter vil eleverne få mulighed for at arbejde med opgaver, hvor de kan uddrage information fra programmernes data. Få idéer til arbejdet her.
Spil

Formål

Formålet med undervisningsforløbet er at give et eksempel på, hvordan man kan tilrettelægge et undervisningsforløb med udgangspunkt i konkrete punkter fra Fælles Mål på en måde, der sætter arbejdet med læringsmål og evaluering af elevernes udbytte af undervisningen i centrum. Relationsmodellen og vejlednings- og inspirationsmaterialet om læringsmålstyret undervisning, som eksemplet tager udgangspunkt i, er derfor ikke en obligatorisk tilgang til tilrettelæggelse af undervisningen eller en særlig, ministerielt foreskrevet tilgang.

Man kan overordnet sige, at sandsynlighed kan dele i op eller består af 2 retninger.

Statistisk sandsynlighed, som handler om at vurdere/lave undersøgelser på noget, som allerede er sket. Man vurderer således på sandsynligheden ud fra en undersøgelse (et udsnit/en stikprøve).

Kombinatorisk sandsynlighed, som handler om, at når man kender antallet af mulige udfald, så kan man vurdere/lave undersøgelser på, hvorvidt noget kommer til at ske. Altså finder man sandsynligheden for, at noget kommer til at ske, ved først at finde ud af, hvad der overhovedet er muligt sker.

Går undersøgelsen mod et uendeligt antal afprøvninger, så vil den statistiske og den kombinatoriske sandsynlighed nærme sig hinanden.

Arbejdet/Legen starter tidligt

Arbejdet med sandsynlighed starter tidligt i skolen. At få erfaringer med begrebet chance er et trinmål allerede efter 3. klasse.

Begrebsord/Signalord

Snak indledende med eleverne om, hvilke ord eleverne forbinder med sandsynlighed og chance. Derefter introduceres de for de begrebsord, som du gerne vil introducere dem for. Det kunne være nogle af de følgende: udfaldsrum, mulige udfald, gunstige udfald, jævn/symmetrisk sandsynlighed, hændelse, umulig hændelse, sikker hændelse, hyppighed, frekvens, additivitetsreglen, multiplikationsprincippet, omvendt sandsynlighed, betinget sandsynlighed, uafhængige hændelser, de store tals lov.

Det afhænger selvfølgelig både af klassetring og niveau, hvilke begrebsord det giver mening at introducere eleverne for. Forståelse for kombinatorik, brøk- og procentbegreberne samt mængdelære er en vigtigt faktor i arbejdet med sandsynlighed.

Forslag til læringsmål

Når du laver læringsmål til eleverne, så handler det om at finde ud af, hvilke ting du vil have, at eleven skal kunne, når forløbet er gennemført eller mens forløbet gennemføres. Det kan således være målene for en formativ og/eller en summativ evaluering. Målet for læreren er således, at eleverne ved at opfylde læringsmålene enten helt eller delvist samtidig opfylder færdigheds- og/eller vidensmålene for fasen.

  • Eleven kan lave en undersøgelse med fx terninger.
  • Eleven kan sige noget om sandsynligheden ud fra en undersøgelse, som du har lavet.
  • Eleven kan vide, hvordan man laver en undersøgelse med fx terninger.
  • Eleven kan fortælle, hvad ordene mulige udfald, gunstige udfald, hændelse og hyppighed betyder.
  • Eleven kan ud fra en undersøgelse kunne fortælle, hvad "de store tals lov" går ud på.
  • Eleven kan gøre rede for forskelle og sammenhænge mellem statistisk og kombinatorisk sandsynlighed.

Udfordringsmål

  • Forklar vha. video, hvorfor kasinoet altid vinder. Læs modulet "Hvorfor vinder kasinoet på sigt?"

Simuleringsprogrammer

Ved at anvende simuleringsprogrammer i forbindelse med chancesituationer vil eleverne få mulighed for at arbejde med opgaver, hvor de kan uddrage information fra programmets statistikker. Med sådanne programmer vil eleverne også kunne få indsigt i de store tals lov ved at erfare stabiliteten i resultater fra lange eksperimentserier.

Det kan være hjemmesider, programmer, regneark, GeoGebra m.fl. Det er fx mulig at lave 1000 slag, så nemt som ingen ting, ved at bruge kommandoer i regnearket såsom =SLUMPMELLEM(1;6) eller kommandoer i GeoGebra såsom fx =TilfældigMellem[1,6]. Se også værktøjet nederst på siden her, hvor man kan lave op til 1 million terningekast med 2 terninger.

Forslag til undervisningsforløb

I det følgende forløb kan du bruge de links til hjemmesider, som er i højre side her.

Erfaringerne kan leges ind, efterfølgende diskuteres og sluttelig laves beregninger på udfaldet. Tag en indledende snak om, hvorvidt eleverne kan forudsige resultatet af fx terningekast m.m. 

  1. Ved en samtale med eleverne repeteres tidligere eksperimenter med mønter, terninger mm. (se relaterede links).
  2. Snak indledende med eleverne om, hvilke ord eleverne forbinder med sandsynlighed og chance. Derefter introduceres de for de begrebsord, som du gerne vil introducere dem for. Se mere ved overskriften Begrebsord/Signalord ovenfor.
  3. Eleverne genererer tilfældige tal på computeren ved den interaktive tjeneste "Forsøg med sandsynligheder" under de relaterede links. Det er muligt at lave både terningekast og møntkast. Eleverne samler data ind og snakker om, hvorvidt deres undersøgelse er retvisende i forhold til antal slag og udfald. Lad dem evt. lave diagrammer og en fremlæggelse.
  4. Den næste aktivitet er et interaktivt lykkehjul. Lad eleverne afprøve med 4 felter først. Derefter med flere felter. Hvad betyder det for sandsynligheden, at der bliver flere felter? Lad dem spille det, som et spil. De skal finde ud af indsats/gevinst. Lad dem ændre på størrelsen af de enkelte felter. Hvad betyder det for gevinsten?
  5. Lad eleverne undersøge den kombinatoriske sandsynlighed for "Spil med 2 terninger" nedenfor. Lad eleverne snakke indledende om, hvor de tror, at der er størst sandsynlighed for at gætte og lad dem gætte. Hvem kan gætte flest ud af 10 kast? Lad eleverne slå fx 10, 50, 100, 1000 og 10000 gange. Lad dem tegne værdierne ind i et diagram. Lad dem snakke om, hvorfor diagrammerne ikke fordeler sig ens/jævnt. Hvilke kombinationer giver de forskellige øjensummer? 
  6. Lad dem spille spillet ved "Hvorfor vinder kasinoet altid på sigt?"

Evaluering

Lad eleverne forklare med deres egne ord, hvad de har lært. Deres forklaring skal tages udgangspunkt i beskrivelser af forsøg. Forklaringen kan dokumenteres. Det er en oplagt mulighed at bruge sin mobiltelefon, iPad eller computer til at optage en film på ca. 1-2 minutter om et forsøg og konklusionen.

Lad eleverne forklare de store tals lov med deres egne ord. Deres forklaring skal tages udgangspunkt i beskrivelser af forsøg. Forklaringen kan dokumenteres skriftligt, men det er en oplagt mulighed at bruge sin mobiltelefon, iPad eller computer til at optage en film på ca. 60 sekunder om et forsøg og konklusionen om de store tals lov.

Spil med 2 terninger

Lad eleverne snakke indledende om, hvor de tror, at der er størst sandsynlighed for at gætte og lad dem gætte. Hvem kan gætte flest ud af 10 kast?

Lad eleverne slå fx 10, 50, 100, 1000 og 10000 gange. Lad dem tegne værdierne ind i et diagram. Lad dem snakke om, hvorfor diagrammerne ikke fordeler sig ens/jævnt.

Forenklede Fælles Mål

Matematik
1. - 3. klasse
Statistik og sandsynlighed (obligatorisk)
Sandsynlighed (obligatorisk område)
Fase 1
Eleven kan udtrykke intuitive chancestørrelser i hverdagssituationer og enkle spil (vejledende mål)
Eleven har viden om chancebegrebet (vejledende mål)
Fase 2
Eleven kan udtrykke chancestørrelse ud fra eksperimenter (vejledende mål)
Eleven har viden om chanceeksperimenter (vejledende mål)
4. - 6. klasse
Matematiske kompetencer (obligatorisk)
Ræsonnement og tankegang (obligatorisk område)
Fase 1
Eleven kan anvende ræsonnementer i undersøgende arbejde (vejledende mål)
Eleven har viden om enkle ræsonnementer knyttet til undersøgende arbejde, herunder undersøgende arbejde med digitale værktøjer (vejledende mål)
Statistik og sandsynlighed (obligatorisk)
Sandsynlighed (obligatorisk område)
Fase 1
Eleven kan undersøge tilfældighed og chancestørrelser gennem eksperimenter (vejledende mål)
Eleven har viden om metoder til at undersøge tilfældighed og chance gennem eksperimenter (vejledende mål)
Fase 2
Eleven kan undersøge chancestørrelser ved simulering af chanceeksperimenter (vejledende mål)
Eleven har viden om metoder til simulering af chanceeksperimenter med digitale værktøjer (vejledende mål)
Fase 3
Eleven kan beskrive sandsynlighed ved brug af frekvens (vejledende mål)
Eleven har viden om sammenhængen mellem frekvenser og sandsynlighed (vejledende mål)
7. - 9. klasse
Statistik og sandsynlighed (obligatorisk)
Sandsynlighed (obligatorisk område)
Fase 1
Eleven kan anvende udfaldsrum og tællemåder til at forbinde enkle sandsynligheder med tal (vejledende mål)
Eleven har viden om udfaldsrum og tællemåder (vejledende mål)
Fase 2
Eleven kan beregne sammensatte sandsynligheder (vejledende mål)
Eleven har viden om sandsynlighedsmodeller og sandsynlighedsberegninger (vejledende mål)
Fase 3
Eleven kan anvende sandsynlighedsregning (vejledende mål)
Eleven har viden om statistisk og teoretisk sandsynlighed (vejledende mål)

Relaterede links

En side hvor der kan lave forskellige forsøg med forskellige lykkehjul og terninger. Der er mange indstillingsmuligheder.
Lav forsøg med lykkehjul, hvor felterne og de tilhørende sandsynligheder kan indstilles. Kræver Java.
Vælg hvor mange sider terningen skal have, og hvor mange gange den skal kastes.